图像恢复

第五章图像复原5.1图像退化与复原5.2空间域图像的恢复5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.4几何失真的校正5.5盲目图像复原5.6编程实例图像恢复，是一种使退化了的图像去除退化因素，并以最大保真度恢复成原来图像的技术。图像恢复与图像增强的研究内容有一定的交叉性。◆图像增强是一种改进图像视觉效果的技术；◆图像恢复是一种对退化（或品质下降）了的图像去除退化因素，并进而复原或重建被退化了的图像的技术。5.1图像的退化模型进行图像恢复的基本思路就是找出使原图像退化的因素，将图像的退化过程模型化，并据此采用相反的过程对图像进行处理，从而尽可能地恢复出原图像来。由于引起退化的因素众多而且性质不同，为了描述图像退化过程所建立的数学模型往往多种多样，而恢复的质量标准也往往存在差异性，因此图像复原是一个复杂的数学过程，图像复原的方法、技术也各不相同。5.1图像的退化模型5.1.1常见退化现象的物理模型图5.1常见的4种退化现象的物理模型示意图5.1图像退化与复原5.1.1图像降质的数学模型图像复原处理的关键问题在于建立退化模型。输入图像f(x，y)经过某个退化系统后的输出是一幅退化的图像。为了讨论方便，把噪声引起的退化即噪声对图像的影响一般作为加性噪声考虑，这也与许多实际应用情况一致。如图像数字化时的量化噪声、随机噪声等就可以作为加性噪声，即使不是加性噪声而是乘性噪声，也可以用对数方式转化为相加形式。原始图像f(x，y)经过一个退化算子或退化系统H(x，y)的作用，并且和噪声n(x，y)进行叠加，形成退化后的图像g(x，y)。图5-2表示退化过程输入和输出的关系。图中H(x，y)概括了退化系统的物理过程，就是所要寻找的退化数学模型。图5-2图像的退化模型图像的退化过程可以理解为施加于原图像上的运算和噪声两者联合作用的结果，由此可得到图像的退化模型为：H(x,y)f(x,y)g(x,y)n(x,y)数字图像的图像恢复问题可看做：根据退化图像g(x，y)和退化算子H(x，y)的形式，沿着反向过程去求解原始图像f(x，y)，或者说是逆向寻找原始图像的最佳近似估计。图像退化的模型过程可以用数学表达式写成如下形式：),()],([),(yxnyxfHyxg(5-1)在这里n(x，y)是一种统计性质的信息。在实际应用中，往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，并且与图像不相关。在图像复原处理中，尽管非线性、时变和空间变化的系统模型更具有普遍性和准确性，更与复杂的退化环境相接近，但它给实际处理工作带来巨大的困难，常常找不到解或者很难用计算机来处理。因此，在图像复原处理中，往往用线性系统和空间不变系统模型来加以近似。这种近似的优点使得线性系统中的许多理论可直接用于解决图像复原问题，同时不失可用性。下面介绍连续图像退化的数学模型。一幅连续图像f(x，y)可以看做是由一系列点源组成的。因此，f(x，y)可以通过点源函数的卷积来表示。即ddyaxfyxf),(),(),(式中：δ为点源函数，表示空间上的点脉冲。在不考虑噪声的一般情况下，连续图像经过退化系统H后的输出为)],([),(yxfHyxg(5-2)(5-3)把式(5-2)代入式(5-3)得]),(),([)],([),(ddyaxfHyxfHyxg(5-4)在线性和空间不变系统的情况下，退化算子H具有如下性质。性质1线性。设f1(x，y)和f2(x，y)为两幅输入图像，k1和k2为常数，则)],([)],([)],(),([22112211yxfHkyxfHkyxfkyxfkH(5-5)由性质1还可推出下面两个结论：(1)当k1=k2=1时，式(5-5)变为)],([)],([)],(),([2121yxfHyxfHyxfyxfH(5-6)(2)如f2(x，y)=0，则)],([)],([1111yxfHkyxfkH(5-7)性质2空间不变性。如果对任意f(x，y)以及a和b，有),(],([byaxgbyaxfH(5-8)对于线性空间不变系统，输入图像经退化后的输出为ddyaxhfddyaxHfddyaxfHyxfHyxg),(),()],([),(]),(),([)],([),((5-9)式中，h(x-α，y-β)为该退化系统的点扩展函数，或叫系统的冲激响应函数。它表示系统对坐标为(α，β)处的冲激函数δ(x-α，y-β)的响应。也就是说，只要系统对冲激函数的响应为已知，那么就可以清楚图像退化是如何形成的。因为对于任一输入f(α，β)的响应，都可以通过上式计算出来。此时，退化系统的输出就是输入图像信号f(x，y)与点扩展函数h(x，y)的卷积:),(*),(),(),(),(yxhyxfddyaxhfyxg(5-10)图像退化除了受到成像系统本身的影响外，有时还要受到噪声的影响。假设噪声n(x，y)是加性白噪声，这时上式可写成：),(),(*),(),(),(),(),(yxnyxhyxfyxnddyaxhfyxg(5-11)在频域上，式(5-11)可以写成：),(),(),(),(vuNvuHvuFVUG(5-12)上式中，G(u，v)、F(u，v)、N(u，v)分别是退化图像g(x，y)、原图像f(x，y)、噪声信号n(x，y)的傅立叶变换；H(u，v)是系统的点冲激响应函数h(x，y)的傅立叶变换，称为系统在频率域上的传递函数。式(5-11)和式(5-12)就是连续函数的退化模型。可见，图像复原实际上就是已知g(x，y)求f(x，y)的问题或已知G(u，v)求F(u，v)的问题，它们的不同之处在于一个是在空间域，一个是在频域。显然，进行图像复原的关键问题是寻找降质系统在空间域上的冲激响应函数h(x，y)，或者降质系统在频率域上的传递函数H(u，v)。一般来说，传递函数比较容易求得。因此，在进行图像复原之前，应设法求得完全的或近似的降质系统传递函数。要想得到h(x，y)，只需对H(u，v)求傅立叶逆变换即可。5.1.2离散图像退化的数学模型)(*)()(xgxfxg1.一维离散退化模型设f(x)为具有A个采样值的离散输入函数，h(x)为具有B个采样值的退化系统的冲激响应函数，则经退化系统后的离散输出函数g(x)为输入f(x)和冲激响应h(x)的卷积，即为了避免上述卷积所产生的各个周期重叠(设每个采样函数的周期为M)，分别对f(x)和h(x)用添0延伸的方法扩展成周期M=A+B-1的周期函数，即1100)()(1100)()(MxBBxxhxhMxAAxxfxfee(5-13)输出为)()()()()(10mxhmfxhxfxgeMmeeee(5-14)式中：x=0，1，2，…，M-1。因为fe(x)和he(x)已扩展成周期函数，故ge(x)也是周期性函数，用矩阵表示为)1()2()1()0()0()2()1()3()1()2()2()0()1()1()1()0()1()2()1()0(MffffhMhMhMhhhMhhhMhhhMggggeeeeeeeeeeeeeeee(5-15)因为he(x)的周期为M，所以he(x)=he(x+M)，即)3()3()2()2()1()1(MhhMhhMhheeeeee)1()1(eehMhM×M阶矩阵H可写为)0()2()1()3()1()2()2()0()1()1()1()0(eeeeeeeeeeeehMhMhhhhhhhhMhhH(5-16)上式写成更简洁的形式：Hfg(5-17)式中，g、f都是M维列向量；H是M×M阶矩阵，矩阵中的每一行元素均相同，只是每行以循环方式右移一位，因此矩阵H是循环矩阵。循环矩阵相加或相乘得到的还是循环矩阵。2.二维离散模型其它且其它且10100),(),(10100),(),(DyCxyxhyxhByAxyxfyxfee(5-18)设输入的数字图像f(x，y)大小为A×B，点扩展函数h(x，y)被均匀采样为C×D大小。为避免交叠误差，仍用添0扩展的方法，将它们扩展成M=A+C-1和N=B+D-1个元素的周期函数：则输出的降质数字图像为),(),(),(),(),(1010yxhyxfnymxhnmfyxgeMmNnee(5-19)式中：x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。式(5-19)的二维离散退化模型同样可以用式(5-17)所示的矩阵形式表示，即g=Hf式中：g、f是MN×1维列向量；H是MN×MN维矩阵。用矩阵形式表示二维离散退化模型的方法是将g(x，y)和f(x，y)中的元素排成列向量。行元素第行元素第行元素第1111111101111)1,1(,),1,1(),0,1(,)1,1(,),1,1(),0,1(,)1,0(,),1,0(),0,0(MNMfMfMfNfffNffff行元素第行元素第行元素第1111111101111)1,1(,),1,1(),0,1(,)1,1(,),1,1(),0,1(,)1,0(,),1,0(),0,0(MNMgMgMgNgggNgggg(5-20)032121011210HHHHHHHHHHHHHMMMMMM(5-21)Hi为子矩阵，大小为N×N，即H矩阵是由M×M个大小为N×N的子矩阵组成的，称为分块循环矩阵。分块矩阵是由延拓函数he(x，y)的第j行构成的，构成方法如下：)0,()3,()2,()1,()0,()1,()0,()1,()1,()2,()1,()0,(jhNjhNjhNjhjhNjhjhjhjhNjhNjhjhHeeeeeeeeeeee(5-22)若把噪声考虑进去，则离散图像退化模型为1010),(),(),(),(MmNneeeeyxnnymxhnmfyxg(5-23)写成矩阵形式为g=Hf+n(5-24)上述线性空间不变退化模型表明，在给定g(x，y)，并且知道退化系统的点扩展函数h(x，y)和噪声分布n(x，y)的情况下，可估计出原始图像f(x，y)。假设图像大小为MN=512×512=262144，其相应矩阵H的元素个数也为262144个，这意味着要解出f(x，y)，需要解262144个联立方程组，其计算量十分惊人。考虑到矩阵H为循环矩阵，因此可利用循环矩阵的性质简化运算，本课不做讨论。第五章图像复原5.1图像退化与复原5.2空间域图像的恢复5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.4几何失真的校正5.5盲目图像复原5.6编程实例5.2空间域图像的恢复图像恢复分类方法：◆按图像恢复系统的控制方式：自动恢复方法和交互式恢复方法；◆按对图像恢复是否外加约束条件：无约束恢复方法和有约束恢复方法；◆按空间域处理技术和频率域处理技术：空间域恢复方法和频率域恢复方法。5.2空间域图像的恢复5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法非约束复原是指在已知退化图像g的情况下，根据对退化系统H和n的一些了解或假设，估计出原始图像，