第五章-量纲分析和相似原理

流体力学教研室：环境与市政工程系水力水文教研室量纲分析第五章和相似原理第五章量纲分析和相似原理§5—1量纲分析§5—2相似理论§5—3相似准则§5—4模型实验主要内容五学习重点：•理解量纲分析的意义及应用；•掌握量纲分析方法•掌握量纲和谐原理、相似概念及主要相似准则的意义和应用；•了解模型实验。§5—1量纲分析（1）量纲——是表征各种物理量性质和类别，是指物理量所属的种类。（质的表征）（2）单位——是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量。（量的表征）一、量纲的概念1、量纲与单位物理量q量纲（属性）dimq单位（量度标准）2、量纲的分类：（1）基本量纲（独立量纲）——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。（2）导出量纲（非独立量纲）——可由基本量纲导出的量纲。如：速度量纲：[LT–1]；流量量纲：[L3T–1]。如：时间量纲：[T]长度量纲：[L]质量量纲：[M]温度量纲：[Θ]对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。速度dimv=LT-1；加速度dima=LT-2力dimF=MLT-2；动力粘度dimμ=ML-1T-1综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示。3、导出量纲公式：dimq=[MaLbTc]1当a=0，b≠0，c=0时：为几何学量纲。2当a=0，b≠0，c≠0时：为运动学量纲。3当a≠0，b≠0，c≠0时：为动力学量纲。4、无量纲量（纯数、无因次量）：（1）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时,则dimq=1，这个物理量即无量纲量。①可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到；②也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。（2）特点：2其大小与所选单位无关，不受运动规模的限制。3除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、指数、三角函数等超越函数运算。1客观性。二、量纲和谐原理（3）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。（2）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；（1）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关；——凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。2、量纲的主要特性：1、定义3、量纲分析的具体应用：（1）量纲分析法——即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量之间的函数关系的方法。（2）应用：1检查所建立的物理方程是否正确；2可用于同一量纲的单位换算；3确定各物理量之间的合理形式；4设计系统实验及分析实验结果。三、量纲分析法1、瑞利法：（1）特点：可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；（2）适用范围：方程中物理量较少（一般4～5个），各量纲间的关系较易确定。（3）基本原理和步骤：对于某一物理过程，通过观察、实验、分析，从而找出影响该物理量的主要因素：y,x1,x2,x3……,xn写成指数形式：nnxxkxy2121y=f(x1,x2,x3……,xn)表示。可用函数式：量纲表示式：nnnncbacbacbacbaMTLMTLMTLMTL][][][22221111据量纲和谐原理有:[L]:1a1＋2a2nan+……+a=[T]:1b1＋2b2nbn+……+b=[M]:1c1＋2c2ncn+……+c=123n……..，，，解出：)dim(dimnnxxxy21211其指数关系式：321HQkN（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的重度γ，流量Q，扬程H。求水泵输入功率N的表达式。[ML2T-3]=[ML-2T-2]α1[L3T-1]α2[L]α32量纲表达式：3据量纲的和谐原理有：[M]：1=+0+01[L]：212=－2+3+3[T]：21－3=－2－+03=12=11=1[ML2T-3]=[ML-2T-2]α1[L3T-1]α2[L]α3故得：N=kγQH2、π定理（布金汉定理）——是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对较多的情况。（1）基本原理：设某一物理过程包含n个物理量：f(x1，x2，……，xn)=0，其中有m个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项来描述。F（π1，π1，……，πn-m）=0即：因是用π来表示无量纲量，故称π定理。可由数学方法证明，这里从略。m个量纲是否独立，可用指数行列式是否为零来判断，若其≠0，则独立。（2）m个相互独立量纲的物理量选择：一般可选3个（m=3），通常分别选几何学物理量、运动学物量、动力学物理量各一个。此法一般可满足量纲相互独立。（3）确定无量纲量π的方法：1从n个物理量中选出m个相互独立的基本量；2由m个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子分母量纲相同，即可求得无量纲量π。如m=3，则有：4举例：π1=x4/(x1α1x2β1x3γ1)π2=x5/(x1α2x2β2x3γ2)……πn-3=xn/(x1α（n-3）x2β（n-3）x3γ（n-3）)3按量纲和谐原理求得各指数，即可得出π的具体表达式。例2：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：流速υ,管径D，重力g，粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分析确定方程的一般形式。解：（1）找出有关物理量（2）选基本量。在有关量中取v，D，ρ为基本变量，基本量数m=3（3）组成π项，决定各π项基本指数。π的个数N(π)=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个π，因hf和L量纲都是长度。π1=μ/(υa1Db1ρc1)=[ML-1T-1]/([LT-1]a1[L]b1[ML-3]c1)则L:-a1-b1+3c1-1=0T:a1-1=0M:-c1+1=0由此a1=1，b1=1，c1=1。类似有：π2=△/(υa2Db2ρc2)π3=g/(υa3Db3ρc3）可得：a2=0，b2=1，c2=0a3=2，b3=-1，c3=0（4）整理方程式：即解得：常用沿程损失公式形式为：——称沿程阻力系数，具体由实验决定。例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。解：（1）找出有关物理量F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0（2）选基本量，组成π项。基本量d,ρ,υ,n=7,m=3,π数n-m=4个（3）决定各π项基本量指数对π1：对π2：同理得：（4）整理方程式设则)(Re,lf4gvdlh22（2）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。19世纪，量纲分析原理未发现之前，水力学中积累了不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验根据，都可用于一定条件下流动现象的描述，这些公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经验的范围内解脱出来。关于量纲分析方法的几点讨论：（1）量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。（3）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。（4）量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力学理论和实验之间的桥梁。思考题1.量纲分析有何作用？答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。2.经验公式是否满足量纲和谐原理？答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。3.瑞利法和布金汉π定理各适用于何种情况？答：瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数≤4~5个，π定理是具有普遍性的方法。§5—2相似理论一、相似的概念1、模型实验：从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况。模型：——指与原型（工程实物）有同样的运动规律，各运动参数存在固定比例关系的缩小物。原型：——天然水流和实际建筑物称为原型。2、相似理论：研究原型与模型之间联系的理论，即为相似理论。是模型实验的理论基础。3、流动相似是几何相似概念的扩展。即要求在原、模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定的比例关系。即流动相似扩展为下面的“相似条件”。二、相似条件1、几何相似——指流体流动空间的几何相似。即两个流动（原型、模型）流场的几何形状相似。（1）条件：1对应线性尺寸成比例；2对应角相等；——满足力学相似，即几何相似、运动相似、动力相似、初始条件和边界条件相似。（2）表达式：2对应的面积比例常数(比尺)：3对应的体积比例常数(比尺)：4对应角：1对应的长度比例常数(比尺)：λl=lp/lmλA=lp2/lm2=λl2λV=lp3/lm3=λl3αp/αm=βp/βm=γp/γm=1注：λl——可据实验场地及要求而定。通常取10≤λl≤100以角标p表示原型（prototype）,m表示模型（model）（3）意义：几何相似是力学相似的前提，只有在几何相似的流动中才能找到对应点，从而进一步探讨对应点其它物理量之间的相似。——指两个流场对应点上同名的运动学量成比例。2、运动相似（1）条件：2对应点上速度(加速度)的方向相对应，1几何相似：大小成比例。1时间比尺：λt=tp/tm2速度比尺：λv=vp/vm=λl/λt3加速度比尺：λa=ap/am=λl/λt2=λv2/λl（2）表达式：运动相似是模型实验的真正目的。（3）意义：3、动力相似（1）条件：——指两个流动对应点上受到同名力的作用，力的方向相同、大小成比例。2对应点上同物理性质的力方向相对应，大小成比例。1几何相似；（2）表达式：根据达郎贝尔原理，对于运动的质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封闭力多边形。因此动力相似又可表述为相应点上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。（3）意义：动力相似是力学相似的保证，是力学相似的主导因素。运动相似是动力相似的表征。如分别以符合T、G、P、和I代表影响流体运动的粘滞力、重力、压力和惯性力，则有：0IPGTmPmpmpmpIIPPGGTTIPGT4、初始条件和边界条件相似初始条件相似：适用于非恒定流。边界条件相似：指两个流动相应边界性质相同，如原型中的固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。流动相似的含义：⑴几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；⑵动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；⑶运动相似是几何相似和动力相似的表现；⑷凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。§5—3相似准则（1）完全相似——所有的力都相似。（2）近似相似——起主要作用的力相似。1、流体力学的相似2、在工程中应力求做到完全相似，但实际上要做到这点是比较困难的，故一般可做到近似相似，即起主要作用的力相似，满足一定的精度要求即可。3、在惯性力、压力、重力、粘滞力等各种力中，直接影响流动的力是惯性力，它是力图保持原有流动状态的力。而其它力是力图改变原有流动状态的力，称主动力，是流体受到的外力。流动的变化就是惯性力与主动力之间相互作用的结果。4、相似准则实际就是惯性力与某单项主动力成比例的动力相似。它是模型设计和试验的基本依据。——雷诺准则（作用在流体上的力主要是粘滞力）。一、粘滞力相似准则1、力的比尺：υlvRe又：故有：mmmpppvlvlmmppTITI由vldyduAT2223vltllmaI