分离变量法——数学物理定解问题

第二章分离变量法2.0预备知识－常微分方程二阶常系数线性方程的标准形式)(xfqyypy2.0预备知识－常微分方程121212(),()(,)()()(),()(),().yxyxabkyxkyxyxyxyxyx：设为定义在内的两个函数，如果存在非零常数,使得,则称线性相关，否称定则线性无关义12)0(,()yyxpyxqyy设是方程的两个线性无定理关的解，则1122()()()yxCyxCyx12,.CC是方程的通解，其中为任意常数02qprr,2422,1qppr特征根0qyypy(1)有两个不相等的实根1,r2r两个线性无关的特解2(40)pq,11xrey,22xrey得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy齐次方程特征方程2.0预备知识－常微分方程(2)有两个相等的实根2(40)pq齐次方程的通解为;)(121xrexCCy,11xrey特解为12rxyxe(3)有一对共轭复根1,ri2,ri2(40)pq,cos1xeyx,sin2xeyx齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为特解为2.0预备知识－常微分方程02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx2.0预备知识－常微分方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0qyypy通解结构*()()(),yxYxyx二阶常系数非齐次线性方程*()()()yxypyqyfxYx如果是方程的一个特解，是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解为2.0预备知识－常微分方程2.1有界弦的自由振动分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville理论。基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解2.1有界弦的自由振动2.1有界弦的自由振动研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：lxxtuxutuulxxuatuttlxx0),(),(0,0,00,000022222特点:方程齐次,边界齐次.(1)没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为;)(tT(2)各点振幅随点而异，而与时间无关，用X(x)表示,所以驻波可用表示。Xx)()(tTxX驻波的特点：端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1有界弦的自由振动2.1有界弦的自由振动设且不恒为零，代入方程和边界条件中得)()(),(tTxXtxu),(txu0''2''TXaXT①由不恒为零，有：),(txu)()()()(2''''tTatTxXxXXXTaT''2''取参数这个式子的左端是x的函数,右端是t的函数，何时恒等？④0)(0,(0)lXX成立②0)()(''xXxX…..……..③20''()()TtaTt0)()(0)()0(tTlXtTX④利用边界条件2.1有界弦的自由振动则0)(,0)0(0''lXXXX⑤特征值问题参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1有界弦的自由振动2.1有界弦的自由振动002121lleCeCCC由边值条件00212ClCC(i)方程通解为xxeCeCxX21)(0(ii)时，通解21)(CxCxX0由边值条件得0)(xXC1=C2=0从而，无意义.0,0)(021xXCC无意义02.1有界弦的自由振动由边值条件0sin021lCC从而0lsin即,3,21,222，nln(iii）时，通解xCxCxXsincos)(210nl故,2,1,sin)(2nxlnπCxX而,02C得2.1有界弦的自由振动再求解T：0)()(2222tTlnatTnn其解为ltannltannnBAtTsincos)(所以,,,sin)sincos(),(321nBAtxulxnltannltannn两端固定弦本的征振动叠加lxnlatnnlatnnnBAtxusin)sincos(),(1…….⑤2.1有界弦的自由振动11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA将展开为Fourier级数，比较系数得)(),(xxllnnannalnllnlnndBdA0202sin)(sin)(代入初始条件得：定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。lxnlatnnlatnnnBAtxusin)sincos(),(1再求解T：0)()(2222tTlnatTnn其解为ltannltannnBAtTsincos)(所以,,,sin)sincos(),(321nBAtxulxnltannltannn两端固定弦本的征振动叠加lxnlatnnlatnnnBAtxusin)sincos(),(1…….⑤2.1有界弦的自由振动11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA将展开为Fourier级数，比较系数得)(),(xxllnnannalnllnlnndBdA0202sin)(sin)(代入初始条件得：2.1有界弦的自由振动定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在x＝0和x=l处的第一类齐次边界条件决定的。lxnlatnnlatnnnBAtxusin)sincos(),(1程方偏微分变量分离）解特征解（解12变量分离（特征值问题）12程方常微分程方常微分齐次边界条件件条2解1解（特征函数）特征值特征解所求解＝分离变量法图解系数代入初始条件确定未知得到解2.1有界弦的自由振动0)()0(,0)()0()()0(lll则无穷级数解lxnlatnnlatnnnBAtxusin)sincos(),(1为如下混合问题的解lxxulxxuuulxuautttlxxxxtt0)(0)(00000002上，，且23)(,)(CxCx],[l0定理：若在区间2.1有界弦的自由振动lxnnnnStNsin)sin(⑴弦上各点的频率和初位相都相同，因而没有波形的传播现象。nnS⑵弦上各点振幅因点而异|sin|lxnnN在处，振幅永远为0lxnlnnlnl,,...,,0)1(2lxnltnanltnannBAtxusin)sincos(),(二、解的物理意义节点腹点特点1222(),,nnAnannnnnBlNABSarctg其中最大振幅频率初位相在处，振幅最大,为nlnnlnlx2)12(232,...,nNu(x,t)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。1nntxutxu),(),(n＝1的驻波称为基波,n1的驻波叫做n次谐波.2.1有界弦的自由振动例1设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦做微小横向振动时的位移，其中与弦的材料和张力有关.100010xxx100002a解设位移函数为，则需要求解下列定解问题txu,.0|,100010|;0||;0,100,1000001002222totxxtuxxuuutxxutu2.1有界弦的自由振动100330,110sin4500010,5nnnCxxxdxnn当为偶数，当为奇数。因此，所求的解为：=txu,tnxnnn1210cos1012sin12154033代入公式计算,1000,102al10010500010sin)(dDnnn2.1有界弦的自由振动解：令,得)()(),(tTxXtxu0)()('0)((0)'0''2tTlXtTXTXaXT化简:002)()(''''''lXXXXTaT例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.)()(xuxuuuuautttlxxxxxxtt0002000第二类边界条件引入参数得XXTaT''''22.1有界弦的自由振动2.1有界弦的自由振动得C1=C2=0从而，无意义0)(xX分离变量：0)()0(0''''lXXXX(i)时，0xxeCeCxX21)(0)(0)(2121lleCeCCC由边值条件02''TaT(ii)时,,0xDCxX00)(000CxXlXX)()()(''(iii)时,0xCxCxXsincos)(210sin012lCC则而,01C...),,2,1(0sinnnll2122,()cosnnxXxCll由边值条件由边值条件从而2.1有界弦的自由振动本征值,,,222102nln本征函数,,cos)(101nlxnCxX2.1有界弦的自由振动T的方程00''T002222nTlanTnn''其解为,,sincos)(21nlatnBlatnAtTnnntBAtT000)(所以tBAtxu000),(,,cos)sincos(),(21nlxnlatnBlatnAtxunnn100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxucos)sincos(),(故代入初始条件:)(sin)(cos1010xlxnBlanBxlxnAAnnnn将展开为傅立叶余弦级数，比较系数得)(),(xxlldlBdlA000000)(1)(1lnlnndlnanBdlnlA00cos)(2cos)(2解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件000lxxxxuu决定.2.1有界弦的自由振动100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxucos)sincos(),(2.2有限长杆的热传导问题例1．细杆的热传导问题长为l的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热,x=0端温度为0，x=l端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为求此杆的温度分布。),(x解：定解问题为xuhuuutlxuautlxxxxxt002|0|)(,0|)0,0(02.2有限长杆的热传导问题,0''XX02'TaT(0)0,X.0)()('lhXlX得本征问题'''0(0)0,()()0XXXXlhXl由及齐次边界条件，有0),(txu设且),()(),(tTxXtxu,),(0txu并引入参数分离变量代入方程2.2