大学概率论总复习-

概率论总复习第一章随机事件第一节样本空间和随机事件第二节事件关系和运算第一章基本知识点1.概率论概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科2.确定性现象与随机现象3.随机试验(1)试验在相同的条件下可重复进行(2)每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以确定试验的所有可能结果(3)每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，简称事件．4.随机事件5.样本点6.样本空间随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作．(1,2,)ii全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．即12,,,,n仅含一个样本点的随机事件称为基本事件．7.随机事件含有多个样本点的随机事件称为复合事件．8.必然事件Ω一次随机试验中，必然会发生的随机事件.9.不可能事件Φ一次随机试验中，不可能会发生的随机事件.给定一个随机试验，设Ω为其样本空间，则：事件事件之间的关系集合集合之间的关系10.事件关系和运算事件的运算集合的运算概率论集合论随机事件A，B，...Ω的子集A，B，...随机事件间的关系各种集合间的关系概率论与集合论之间的关系概率论集合论样本空间全集必然事件全集不可能事件空集子事件AB子集AB并事件AB并集AB交事件AB交集AB差事件AB差集AB对立事件A补集A第二章事件的概率第一节概率的概念第二节古典概型第三节几何概型第四节概率的公理化定义第二章基本知识点1.随机事件的频率设随机事件A在n次随机试验中出现了r次，则称这n次试验中事件A出现的频率为：()nrfAnArn事件出现的次数试验的总次数随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随着试验次数的增加更加明显.2.频率的稳定性对任意事件A，在相同的条件下重复进行n次试验，事件A发生的频率随着试验次数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动,那么称p为事件A的概率，记为事件A的频率3.概率的统计定义()PAp事件A的概率当试验次数足够大时近似地代替事件A的概率准确的数值频率的稳定值概率事件A(1)有限性：各个可能结果出现是等可能的.试验的可能结果只有有限个；(2)等可能性：12,,,n4.古典概型：古典概型的基本特征：样本空间Ω是个有限集121()()(),{}niiPAPAPAAn基本事件的概率均相同5.概率的古典定义对于古典概型：12,,,n12,,,rkkkA()rPAnArn事件包含的基本事件的基本事件(1)设所有可能的试验结果构成的样本空间为：(2)事件12,,,rkkk其中为1,2,…,n中的r个不同的数则定义事件A的概率为：6.几何概型古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性事件A＝“随机点落在Ω中的子区域SA中”长度、面积或体积1.基本特征：(1)有一个可度量的几何图形Ω(2)试验E看成在Ω中随机的一点ω()||ASPAAS的几何度量的几何度量设随机试验的样本空间为Ω，若对任一事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应，满足如下公理：(1)非负性：(2)规范性：(3)完全可加性：7.概率的公理化定义0()1PA()1P11()nnnnPAPA对任意一列两两互斥事件A1，A2，…，有：则称P(A)为事件A的概率8.概率的性质不可能事件的概率为零性质1()0P性质2()1()PAPA逆事件的概率性质3对任意有限个互斥事件A1，A2，…An，有：11()nnkkkkPAPA互不相容事件概率的有限可加性性质4()()()()PABPAPBPAB加法定理性质5()()()PBAPBPA()()PAPBAB若，则：且差事件的概率BCA性质6()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC加法定理的推广形式第三章条件概率与事件的独立性第一节条件概率第二节全概率公式第三节贝叶斯公式第四节事件的独立性第五节伯努利试验和二项概率第六节主观概率第三章基本知识点设A，B为同一随机试验中的两个随机事件,且P(A)0，则称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概率，记为1.条件概率的定义()(|)()PABPBAPA2.乘法定理()(|)()PABPBAPA()(|)()PABPABPB()()(|)PABPAPBA()()(|)PABPBPAB设A1，A2，...，An构成一个完备事件组，且P(Ai)0(i＝1，2，...，n)，则对任一随机事件B，有:3.全概率公式niiiPBPAPBA1()()(|)A1A2A3PA1()PA2()PA3()PBA1(|)PBA2(|)PBA3(|)PB()设A1，A2，…,An构成完备事件组，且每个P(Ai)0，B为样本空间的任意事件且P(B)0,则有：4.贝叶斯公式kkkniiiPAPBAPABknPAPBA1()(|)(|)(1,2,,)()(|)P(B｜A)=P(B)5.事件独立的定义PABPAPB()()()A与B相互独立的充要条件如果事件A，B，C满足:(a)P(AB)=P(A)P(B)(b)P(AC)=P(A)P(C)(c)P(BC)=P(B)P(C)则称事件A，B，C两两独立.6.事件的独立性的推广(1)事件A，B，C两两独立：如果事件A，B，C满足:(a)P(AB)=P(A)P(B)(b)P(AC)=P(A)P(C)(c)P(BC)=P(B)P(C)(d)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A，B，C相互独立.(2)事件A，B，C相互独立：在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可能的结果：A及，且A在每次试验中发生的概率为p，则称其为n重贝努利试验，简称贝努利试验.7.贝努利试验A8.二项概率：设在一次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，则A在n次贝努利试验中恰好发生k次的概率为贝努利定理kknkknPACppkn()(1)(0,1,2,,)第四章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量第三节连续型随机变量第四章基本知识点1.随机变量用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化2.随机变量的类型(1)离散型随机变量(2)非离散型随机变量3.随机变量的分布函数设X是随机试验E的一个随机变量，称定义域为,函数值在区间[0,1]上的实值函数(,)FxPXxx()()()为随机变量X的分布函数.随机试验试验结果集合论函数论样本空间Ω样本点ωi若干样本点构成事件A事件A的概率P(A)PA0()1实数集实数随机变量X表示事件A随机变量X的分布函数F(x)Fx0()1(,)x(,)数量化对应FxPXx()()4.离散型随机变量分布律的表示方法：(1)公式法：iiPXxp()(2)表格法：X概率x1x2ixp1p2ip其中ipi01(1,2,)且iip15.常用离散型分布(1)0-1分布(二点分布)X概率01p1p(2)二项分布X概率01np(1)nnCpp11(1)……kkknknCpp(1)……nnp~(,)XBnp(3)泊松分布kPXkkk()e(0,1,2,)!~()XP6.连续型随机变量的概率密度函数()()dxFxftt(1)数学符号：随机变量X的分布函数()()dxFxftt随机变量X的概率密度函数(2)连续型随机变量的分布函数表示事件：(a)事件()PXb()Fb(b)事件()PXb1()PXb1()Fb(c)事件()PaXb()()FbFa7.事件的概率与概率密度函数的关系：(a)事件()PXb()Fb(b)事件()PXb1()PXb1()Fb(c)事件()PaXb()()FbFa()dbfxx1()dbfxx()dbafxx(1)均匀分布1()0axbfxba其它X~R(a,b)8.常用连续型分布：(2)指数分布0()(000xexfxx为常数）~()XE(3)正态分布2~(,)XN22()21()(,0)2xfxe(4)标准正态分布X~N(0,1)221()e2xfx第五章二维随机变量及其分布第一节二维随机变量及分布函数第二节二维离散型随机变量第三节二维连续型随机变量第四节边缘分布第五节随机变量的独立性第六节条件分布第五章基本知识点1.二维随机变量(X,Y)的联合分布函数(,)(,)FxyPXxYy2.联合分布函数表示矩形域概率121222211211(,)(,)(,)(,)(,)PxXxyYyFxyFxyFxyFxy3.二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布：XY1ixx1jyy111jpp1iijpp4.二维连续型随机变量的联合概率密度函数(,)(,)ddxyFxyfxyyx(1)二维均匀分布1,(,)(,)0,xyDfxyA其它5.常见的二维连续型随机变量的联合密度函数(2)二维正态分布221122222121212()()()()122(1)21(,)e21xxyyfxy6.边缘分布函数设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，()(,)PXxPXxY()XFx(,)FxX的边缘分布函数()(,)PYyPXYy()YFy(,)FyY的边缘分布函数()(,)XFxFx()(,)YFyFy{,}ijijPXxYyp(,1,2,3,)ij若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为则{}{,}iiPXxPXxY(1,2,3,)i(1)X的边缘分布律为：{}{,}iiPYyPXYy(1,2,3,)i(2)Y的边缘分布律为：7.二维离散型随机变量的边缘分布律ipjp二维离散型随机变量的边缘分布律(表格形式)XY1ixx1jyy111jpp1iijpp(1)X的边缘分布：(2)Y的边缘分布：X概率x1x2ix1p2pipY概率1y2yjy1p2pjp第i行之和第j列之和ipjpip1jpp1p8.二维连续型随机变量的边缘分布(,)(,)ddxPXxYfxyyxX的边缘(概率)密度函数：()Xfx(1)X的边缘分布函数为设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则：()XFx(2)Y的边缘分布函数为(,)(,)ddyPXYyfxyxy()YFyY的边缘(概率)密度函数：()Yfy(,)()()(,)XYfxyfxfyxy(,)ijijpppij9.随机变量X，Y相互独立的判定方法(1)依据随机事件概率的特征判定：P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)·P(Y≤y)(2)依据随机变量的联合分布函数及边缘分布函数的特征判定：F(x,y)=FX(x)FY(y)(3)依据离散型随机变量的分布律及边缘分布律的特征判定：(4)依据连续型随机变量的联合密度函数及边缘密度函数的特征判定：(,)ijijpppij(1)设(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律已知.假设P(Y=yj)0,则在条件{Y=yj}下{X=xi}的条件概率为：10.离散型随机变量的条件分布律:(,)({}|{})()ijijjPXxYyPXxYyPYy称这个分布为在给定的Y=yj条件下X的条件分布律.表格形式：|jXYy概率x1x2ix(1,2,)ijjpip1jjpp