命题与证明讲义

办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团1龙文教育学科教师辅导讲义教师:学生：时间：年月日第阶段第次课课题命题与证明教学目标1、命题、逆命题、真假命题的概念及含义2、证明的含义、严谨的逻辑证明的格式及精典例题剖析3、反证法的概念、一般步骤及与举反例的区别重点、难点命题证明考点及考试要求教学内容考点一：证明相关概念1、概念：根据条件，定义及公理等，经过推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程就是证明。2、证明过程：已知，求证，证明和图形等。3、证明的步骤：首先是分清楚条件和结论；然后根据题意画出图形并且要在图上标出字母；根据条件和结论，结合图形，写出已知，求证；最后经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。4、证明所依据的知识点：三角形三个内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，运用反例来证明即：具备命题条件但是不具备命题结论的实例。考点二：文字形式的证明题（1）求证：直角三角形的两个锐角互余。（2）试证明相邻且互补的两个角的平分线互相垂直。（3）证明：一个锐角的补角与余角之差为直角。考点三：证明两条线段的平行方法：①三种角的关系（同位角，内错角，同旁内角）②平行与同一直线的两直线平行AD③垂直于同一直线的两直线平行例1：已知AB∥DE，∠BAE=∠CDE，求证：AE∥DC。BEC办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团2例2：在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，F为BC上的一点，FG⊥AB，垂足为点G，E为AC上一点，连接DE，且∠1=∠2，求证DE⊥BC。DEGBFC练习：（1）如图，点E为为DF上的点，点B为AC上的点,且∠1=∠2，∠C=∠D，求证：DF∥AC（2）已知，AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，求证：EF∥BC.DEFA(第(1)题图)EF（第(2)题图）ABCBDC考点四：证明角的相等（通常是直接写出求证两个角相等或者求证某条直线是角的平分线）方法：①通过第三个角转换；②证明线段的平行；③通过等边对等角。例题：1、已知AE∥BC，∠B=∠ACB，求证：AE是∠DAC的平分线。2、已知OP平分∠AOB，PC∥OB，PD∥OA，求证：PO平分∠CPDDAAECPBC（1题图）ODB（2题图）练习：1、已知AD平分∠BAC。∠BFE=∠DAC，求证：∠BFE=∠G2、在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，说说∠DAE与∠B，∠C有什么关系？并证明你的结论。（2）BCAAE（3）jCFEADB（4）FCDBEA3、如图，AD是∠BAC的平分线，AE=AC，EF∥BC，试说明∠FEC=∠DEC4、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由。办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团3考点五：证明角的相等例1：如图，已知AB=AC。BD=CD。E是AD上的任意一点，求证：BE=CEEDCBA例2：如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在AB上。点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F，求证：DF=EFCFEBDAA练习：1、已知AD∥BC，AB与CD相交于点O，过点O作直线分别交AD，BC于点E，F，且OE=OE，求证：AD=BCFBDOECA2、如图点M，A，N在同一直线上，△ABC为等腰直角三角形，垂足为点M，BM⊥MN，BM=AN，试说明：MN=CN+BMBNACM3、如图，在△ABC中，D为BC上的一点，连接AD，点E在AD上，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD⊥BC，且BD=DC。12ECBAD办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团4考点六：求角的度数和线段的长度例1：如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是多少？CEDBA例2：如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，PE⊥OB，若PC=4，求PD的长？DPECOBA练习：1、已知△ABC中，BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。CFOEBA2、如图，在△ABC，∠B=∠C，BE=CD，BD=CF，∠A=36°，求∠EDF的度数。3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，交AD于点P，求证：DG=PG。GPFCDBEAFECBAD办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团5考点七：反例证明1、若ab=0,那么a=02、倒数等于它本身的数是1，3、两个全等三角形一定可以通过平移得到。4、判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。5、判断命题“两边及第三边的高对应相等的两个三角形全等”的真假。考点八：反证法步骤：1、假设命题的结论不成立2、从假设出发，运用正确的推理方法，得出与定义，定理，公理或已知相矛盾的结果。3、由矛盾的结论，判定假设不正确，从而肯定原命题。（结论的反面要准确）如：①x＞0的反面是x＜0或x=0②三角形中至少有一个角不小于60°的反面是“三角形所有内角都小于60°”③“三角形中至多有一个直角或钝角”的反面是“三角形中有两个或三个角是钝角或直角”例题讲解：1、三角形中至少有一个角不小于60°2、已知在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内部的一点，且∠APB≠∠APC，求证：PB≠PCBACP办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团6练习一、选择题1．下列语句是命题的是…………………………………………………………（）A．作直线AB的垂线B．在线段AB上取点CC．同旁内角互补D．垂线段最短吗？2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是…………………（）A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线3．下列命题中，属于假命题的是……………………………………………………………（）A．若a-b=0，则a=b=0B．若a-b＞0，则a＞bC．若a-b＜0，则a＜bD．若a-b≠0，则a≠b4．直角三角形的两锐角平分线所交成的角的度数是…………………………（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案均不对5．适合条件∠A:∠B:∠C=1:2:3的三角形一定是…………………………（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形6．用反证法证明“3是无理数”时，最恰当的证法是先假设…………………（）A．3是分数B．3是整数C．3是有理数D．3是实数7．如图，∠1+∠2+∠3等于……………………………………（）A．180°B．360°C．270°D．300°8．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是…………………………………………………（）A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40°二、填空题1.如图7所示，点B，D在AN上，点C，E在AG上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，若∠A=20°，则∠FEG=_______．（第7题图）办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团7(7)(8)(9)2．如图8所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC的度数是________．3．如图9所示，D为等边△ABC内一点，且BD=AD，BP=AB，∠1=∠2，则∠P=______．4.若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高为h给出下列结论：①以222,,cba的长为边的三条线段；②以cba,,的长为边的三条线段；③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成一个三角形；④以cba1,1,1的长为边的三条线段能组成一个三角形。其中所有正确结论的序号为。5.已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF②△EPF是等腰直角三角形③2S四边形AEPF＝S△ABC④EF＝AP，当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有个。三、解答题1.如图，AD是∠BAC的平分线，AE=AC，EF∥BC，试说明∠FEC=∠DECjCFEADB2．已知：AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，求证：EF∥BC3.在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD，BE的交点．（1）当∠BAC为锐角时（如图①），求证：BH=AC．（2）当∠BAC为钝角时（如图②），其他条件不变，请画出符合要求的图形．这时BH=AC还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．ABCDEF