三角函数及解三角形知识点总结

1.任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋＋－＋－＋－－－＋＋－sincostan3.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sincos1,1tancos（2）商数关系：sintancos（用于切化弦）※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成2k形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(Ⅱ）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅲ）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅳ）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(Ⅴ）sin)2cos(cos)2sin(Ⅵ）sin)2cos(cos)2sin(roxya的终边P（x,y)5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质sinyxcosyxtanyx图像定义域RR,2xxkkZ值域1,11,1R最值当22xkkZ时，max1y；当22xkkZ时，当2xkkZ时，max1y；当2xkkZ时，min1y．既无最大值也无最小值度030456090120135150180270360弧度06432233456322sin01222321322212010cos13222120122232101tan03313无31330无0函数性质min1y．周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkkZ上是增函数；在32,222kkkZ上是减函数．在2,2kkkZ上是增函数；在2,2kkkZ上是减函数．在,22kkkZ上是增函数．对称性对称中心,0kkZ对称轴2xkkZ对称中心,02kkZ对称轴xkkZ对称中心,02kkZ无对称轴7.函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，3,,,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。8.图像的平移变换：函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位例：以sinyx变换到4sin(3)3yx为例sinyx向左平移3个单位（左加右减）sin3yx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin33yx纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin33yxsinyx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin3yx向左平移9个单位（左加右减）sin39yxsin33x纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin33yx注意：在变换中改变的始终是x。9、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）cossincossin)sin((2）cossincossin)sin((3）sinsincoscos)cos((4）sinsincoscos)cos((5）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(6）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(7)sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)ab所在的象限决定,2222sin,cos,tanbabaabab，该法也叫合一变形).(8))4tan(tan1tan1)4tan(tan1tan110、二倍角公式（1）（2）（3）11.降幂公式：（1）（2）12.升幂公式（1）2cos2cos12（2）2sin2cos12（3）2)2cos2(sinsin1（4）22cossin1（5）2cos2sin2sinaaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan22cos1cos2aa22cos1sin2aa13.三角变换：函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：其中，比如：xxycos3sin)cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx)cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x注意:“凑角”运用：，，1214、三角形中常用的关系：，，，，常见数据：，3215tan,3275tan,15、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC（R是三角形外接圆半径）．注：正弦定理的变形公式：①2sinaR，2sinbR，2sincRC；②sin2aR，sin2bR，sin2cCR；③::sin:sin:sinabcC16、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC注：余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．17、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac)sin(cossin22baba2222sin,cosbabbaa)sin(sinCBA)cos(cosCBA2cos2sinCBA)(2sin2sinCBA)(2cos2cosCBA6262sin15cos75,sin75cos1544两边夹角的正弦值两边之积21ABCS高底21ABCS注：（1）①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角；②如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；③如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。（课本第6页右下角）例如a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若①222abc，则90C；②若222abc，则．18090C，C为钝角③若222abc，则900C；C为锐角（2）在三角形中一些重要的知识点；1.CBA,)0(,,，CBA2.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3.大角对大边，小角对小边，等角对等边。4.在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角。5.在三角形中，如果某一边是最大的边，那么它所对的角可能是锐角，直角，钝角。