23中考二次函数压轴题解题通法

二次函数常见题型及解题策略常用公式或结论（5）中点坐标公式（7）两直线平行的结论（5）由特殊数据得到或猜想的结论(2)几个自定义概念•A•B•PL第二问：最短距离问题•A•BL•A’•P两点之间线段最短•A•B•P|PA-PB|最大L•A•BP•L拓展：变动的两线段之差的最大值三角形两边之差小于第三边路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线,点在上，分别在、上确定两点、，使得之和最小。1l2lA2l1l2lMNMNAM路径最值问题路径最值问题铅垂高法求面积A（x1,y1)B（x2,y2)C（x3,y3)DMNE12ABCSMNAD割补法求面积D（x3,y1)E（x2,y2)F（x2,y1)ABCCDFEADCAFBBCESSSSSAB(1,0)C(0,-2)OxyX=-1(-3,0)•P求△PBC的周长最小值AB(1,0)C(0,-2)OxyX=-1(-3,0)•P2231acxxy4(1,)3PxO•PE•DyCA(-3,0)(0,-2)32DE//AC?PDES例3：平滑定理及相似ACBDL2L1平滑定理S△ABC=S△ABDxO•PE•DyCA(-3,0)(0,-2)32S△PED=S△CEDCED1=CDOE2S△几何模型1.最短距离——对称（1）同侧和最小（2）同侧差最大2.面积的代数解法（1）平滑定理（2）割补法（3）铅垂高法已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A(-3,0）、C（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）1.已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．2.若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE//PC交x轴于点E,连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．ACxyBO（第24题图）在平面直角坐标系中求面积的方法•直接用公式、割补法★近几年命题分析2010年★近几年命题分析2011年★近几年命题分析2012年函数的交点问题函数的交点问题方程法•（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度•（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量•（3）列方程或关系式1.求证“两线段相等”的问题２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题5.常数问题6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题8.三角形面积的最大值问题三角形面积的最大值问题9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。10、“定四边形面积的求解”问题•有两种常见解决的方案：•方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；•方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）欣赏压轴题：•已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、•B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．•(1)求抛物线的函数关系式；•(2)设点P是直线l上的一个动点，•当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．•解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，•∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）.•又∵C(0，3)在抛物线上，•∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1.•∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），•即y＝－x2＋2x＋3.•如解图，连接BC，直线BC与直线l的交点为P,•则此时的点P，使△PAC的周长最小.设直线BC的解•析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：•解得：.∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3.•当x=1时，y＝2，即P的坐标(1，2).•（3）存在，点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0).•理由如下：•∵抛物线的对称轴为：x=1，∴设M(1，m).•∵A(－1，0)、C(0，3)，•根据勾股定理可得MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10.•①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1.•②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±.•③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，•当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去.•综上可知，有符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0).探究二二次函数与四边形的结合第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题例2[2013·枣庄]如图41－2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点．(1)求这个二次函数的解析式．(2)连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．图41－2考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解(1)将B、C两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得9＋3b＋c＝0，c＝－3，解得b＝－2，c＝－3.∴这个二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)假设抛物线上存在点P(x，x2－2x－3)，使得四边形POP′C为菱形．连接PP′交CO于点E.∵四边形POP′C为菱形，∴PC＝PO，PE⊥CO，∴OE＝EC＝32，∴P点的纵坐标为－32，即x2－2x－3＝－32，解得x1＝2＋102，x2＝2－102(不合题意，舍去)．∴存在点P2＋102，－32，使得四边形POP′C为菱形．考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设P(x，x2－2x－3)．由x2－2x－3＝0得点A的坐标为(－1，0)．∵B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，－3)，∴直线BC的解析式为：y＝x－3，∴Q点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x2＋3x.∴S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝12AB·CO＋12PQ·BF＋12PQ·FO＝12AB·CO＋12PQ·(BF＋FO)＝12AB·CO＋12PQ·BO＝12×4×3＋12(－x2＋3x)×3＝－32x2＋92x＋6＝－32x－322＋758.∴当x＝32时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为32，－154，四边形ABPC的最大面积为758.考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(1)图中已知抛物线上几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？(3)由于△ABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求△BPC的最大面积．例题分层分析解题方法点析求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差．考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题探究四二次函数与圆的结合图41－4例4[2013·巴中]如图41－4，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C.(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题解(1)∵A(4，0)，B(－1，0)，∴AB＝5，半径是PC＝PB＝PA＝52，∴OP＝52－1＝32，在△CPO中，由勾股定理得：OC＝CP2－OP2＝2，∴C(0，2)．设经过A、B、C三点的抛物线的解析式是y＝a(x－4)(x＋1)，把C(0，2)代入得：2＝a(0－4)(0＋1)，∴a＝－12，∴y＝－12(x－4)(x＋1)＝－12x2＋32x＋2，故经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式是y＝－12x2＋32x＋2.考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(2)∵y＝－12x2＋32x＋2＝－12x－322＋258，∴M32，258.设直线MC对应的函数解析式是y＝kx＋b，把C(0，2)，M32，258代入，得258＝32k＋b，b＝2，解得k＝34，b＝2，∴y＝34x＋2.故直线MC对应的函数解析式是y＝34x＋2.考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(3)MC与⊙P的位置关系是相切．证明：设直线MC交x轴于D，当y＝0时，0＝34x＋2，∴x＝－83，OD＝83，∴D－83，0.在△COD中，由勾股定理得：CD2＝22＋832＝1009＝40036.又PC2＝522＝254＝22536，PD2＝52＋83－12＝62536，∴CD2＋PC2＝PD2，∴∠PCD＝90°，∴PC⊥DC.∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切.考向互动探究第41课时┃二次函数与几何综合类存在性问题(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛物线解析式是y＝a(x－4)(x＋1)，如何求出C点坐标？(2)怎么求出顶点M的坐标？(3)若直线MC与⊙P相切，如何去求证？例题分层分析解题方法点析用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．考向互动探究“两个三角形相似”的问题•不知道是否有一个角相等的情形：•这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。１2.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题•首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，