第二章-弹性力学平面问题的有限元法

第二章弹性力学平面问题的有限元法2.1平面问题三结点三角形单元的有限元格式空间离散：建立坐标系，选择单元类型，将连续域划分为有限个单元；形成单元总数、结点总数、单元号、结点号、结点坐标、单元内结点次序（单元结点信息）;在结点上加上正确的位移约束。一、离散化离散化的内容包括空间离散、载荷离散。载荷离散：将所有载荷都‘离散’到结点上。ij离散化注意：（1）对同一问题，采用不同的单元会达到不同的精度，一般而言，比较复杂的单元精度比较高。（3）在边界曲折、应力集中处单元的尺寸要小些。而在同一问题中最大与最小单元的尺寸倍数不宜过大。（2）网格划分的单元数越多（单元的尺寸会小），结点数就越多，计算的精度越高，但计算量也越大。（4）集中力的作用点以及分布力突变的点最好选为结点。变厚度、物性变化也应在划分单元时区分开来。（5）从单个单元看，单元形状也影响计算精度。例：1Px23456y①②③④①建立坐标系②划分单元③结点编号④单元编号1Px23456y①②③④①建立坐标系②划分单元③结点编号④单元编号⑤结点坐标结点号x坐标y坐标10.0.20.h3l/20………132234435564⑥单元结点信息二、单元位移模式及插值函数的构造(1)、(2)、(3)i、j、m结点的编号结点坐标（xiyi）（i,j,m）结点信息数组ijmi结点位移为δi=iivu单元结点位移列阵eeiiijjjmmmuvuvuvOxyijme（i,j,m）yxvyxu654321（单元位移模式或位移函数）123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy123111iiijjjmmmuxyuxyuxy123Cmjiuuu1321CmjimjimjicccbbbaaaA211C1111jjijmmjmmjijmmjimjmxyaxyxyxyybyyyxcxxx（i,j,m）1()2eijmAaaa1||121iijjemmxyxyAxyCOxyijmemjiuuu1321C123uxy123(1)uxy()iijmjmuNNNuu1(1)2ijmiijmjeijmmaaauxybbbuAcccu112ijmijmeijmaaabbbAcccCiijjmmNuNuNu(i点的形状函数，简称形函数)(,)2iiiieabxcyNxyA（i,j,m）Oxyijme123uxyiijjmmNuNuNu(,)2iiiieabxcyNxyA（i,j,m）mmjjiivNvNvNvmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000eueeeeiijmjmNNNeeNeN—形函数矩阵形函数性质：1．形函数Ni在i结点值为1，在其余结点为零，即ikikyxNkki01),(（k=i,j,m）111iijjmmxyCxyxy1||121iijjemmxyxyAxyC1111jjijmmjmmjijmmjimjmxyaxyxyxyybyyyxcxxx（i,j,m）1111jjjjiimmmmxyyxxyxyyxiiiiiabxcy2eA(,)12iiiiiiiiabxcyNxyA形函数性质：1．形函数Ni在i结点值为1，在其余结点为零，即111iijjmmxyCxyxy1||121iijjemmxyxyAxyC1111jjjjiimmmmxyyxxyxyyx(,)12iiiiiiiieabxcyNxyA(,)02iijijijjeabxcyNxyA(,)02iimimimmeabxcyNxyA形函数性质：2．在单元内任一点三个形函数之和等于1。即Ni+Nj+Nm=1(,)(,)(,)ijmNxyNxyNxy1()2iiijjjmmmeabxcyabxcyabxcyA1[()()()]2ijmijmijmeaaabbbxcccyA(,)2iiiieabxcyNxyA（i,j,m）1||121iijjemmxyxyAxyC2eA001(,)2iiiieabxcyNxyA（i,j,m）①对于三结点三角形单元，有限元法实际上是用小平面构成的折面去逼近“解曲面”。②在三角形ijm的形心有13iN（i,j,m）③在ij及im两边的中点有12iN（i,j,m）④在三角形单元ijm面积上积分有edd3eiANxy（i,j,m）⑤在三角形单元ijm的ij边上积分有ds2ijiijlN（i,j,m）(b)ijm1(a)ij1mjim1(c)(,)2iiiieabxcyNxyA（i,j,m）(b)ijm1(a)ij1mjim1(c)3．三角形单元ijm在ij边上的形函数与第三个结点的坐标无关。相邻单元在公共边上的位移是连续的iljkyxvyxu654321（单元位移模式或位移函数）Oxyijme1．广义坐标个数应与结点自由度数相等。2．选取多项式时,常数项和坐标的一次项必须完备。3．多项式的选取应由低阶到高阶,尽量选取完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制不能选取完全多项式时,选择的多项式应具有坐标的对称性,并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数,以保证相邻单元交界面上位移协调性.4．单元位移模式的确定尽量满足简单性、完备性、连续性及待定系数的唯一确定性原则。三、用结点位移表示单元应变—应变矩阵eB00xeyxyuxxuvvyyuvyxyxεLueee000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuvuNeeeeεLuLNeeeeεLuLNejimjimjjiimmNNNxxxNNNyyyNNNNNNyxyxyxeeeeeeijmBBBB(,)2iiiieabxcyNxyA（i,j,m）2iieNbxA2iieNcyA001002iieiiieiiiiNxbNcyAcbNNyxB（i,j,m）常应变单元eB—为应变转换矩阵四、用结点位移表示单元应力—应力矩阵eSeeeeeeεLuLNBeeeeeeeeeijmσDεDBSSSSeS是3×6矩阵，称为单元应力转换矩阵。2123101000AAAAD21113122111AAEAeeeeeijmBBBB四、用结点位移表示单元应力—应力矩阵eSeeeeeeeeeijmσDεDBSSSSiiiiiiiibccbcbAE2121)1(21111211eeDBS（i,j,m）212332iiiieiibAcAAbcAAcAb111213211(,,)12EAAA常应力单元euvueeNeiijjmmuvuvuvxeeeeyxyDBσSeexeyxyε=BOxyijme五、用结点位移表示单元结点力—单元刚度矩阵eK(1)、(2)、(3)i、j、m结点的编号结点坐标（xiyi）（i,j,m）结点信息数组ijmi结点位移为δi=iivu单元结点位移列阵eeiiijjjmmmuvuvuvOxyijmeixFiyFjxFjyFmxFmyF（i,j,m）单元结点力列阵TeIixiyjxjymxmyFFFFFFF五、用结点位移表示单元结点力—单元刚度矩阵eKOxyijmeixFiyFjxFjyFmxFmyFixIiiyFFF（i,j,m）IieIIjImFFFFeTiijjmmuvuvuv*e******T()iijjmmuvuvuv****eeeuvuN*e=Beδ*e单元结点力列阵TeIixiyjxjymxmyFFFFFFF五、用结点位移表示单元结点力—单元刚度矩阵eK***TTTStdtufdtufds虚功原理***eeeeTeTeTStdtufdtufds单元单元结点力在结点虚位移上的虚功为*******TeeixiiyijxjjyjmxmmymwFuFvFuFvFuFvIF单元吸收的总虚变形功为*TedeeteeeDBσ*e=Beδ*eT*eeT*TedeeteeIBDBFT*eeTdeteeBDB五、用结点位移表示单元结点力—单元刚度矩阵eKT*eeT*TedeeteeIBDBFeTedeteeIBDBFeeTdeteKBDBeeKeIF单元结点平衡方程eeTdeteKBDB单元刚度矩阵对于三结点三角形单元，由于B，D中元素都是常数eeTdeetAeKBDB五、用结点位移表示单元结点力—单元刚度矩阵eK对于三结点三角形单元eeTetAeKBDBeeeeeeeeeeTiiiijimTejijmjijjjmTmmimjmmtABKKKKBDBBBKKKBKKKeeeeijmBBBBeTrserstAKBDB(r,s=i,j,m）2123101000AAAAD111213211,,12EAAA0102ieiieiibcAcbBeTrserstAKBDBeeeeeeeeeeTiiiijimTejijmjijjjmTmmimjmmtABKKKKBDBBBKKKBKKK2123101000AAAAD111213211,,12EAAA0102ieiieiibcAcbB111121111122114(1)22rsrsrsrsersrsrsrsbbccbccbtEAcbbcccbb(r,s=i,j,m）单元刚度矩阵的物理意义eeKeF单元结点平衡方程111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566ixiiyijxj