等腰三角形综合讲义(无答案)

等腰三角形综合知识点：1、等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等。(2)等腰三角形的顶角平分线、底边平分线、底边上的高重合（三线合一）。2、等腰三角形的判定：如果一个三角形只有两个角相等，那么这两个角所对的边相等(简称“等角对等边”)3、等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等；三个角都相等，且都等于60度。4、等边三角形的判定：(1)两条边相等的等腰三角形是等边三角形．(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形．(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形．5、直角三角形中30°角对的边等于斜边的一半。等腰直角三角形（正方形）AB=AC、CE=AE=EB、∠A=∠B=∠1=∠2=45°黄金三角形顶角为36°的等腰三角形性质：底角的角平分线把三角形分成两个等腰三角形等腰三角形的构造1.等腰三角形+平行线2.角平分线+平行线等腰三角形的存在性的确定如下图1、图2，在直线L上找一点P使△ABP为等腰三角形。图1图2【主要数学思想】分类思想：主要用于等腰三角形；方程思想：主要用于计算边和角；化归思想：主要用于把梯形问题转化为三角形来处理。建模思想：主要用于建立等腰三角形模型题型一：等腰三角形的性质和判定综合应用【典型例题】例1．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．例2：（2017•青岛）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°，则顶点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣4，2）B．（﹣2，4）C．（4，﹣2）D．（2，﹣4）例3：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．例4：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．例5：如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区题型二：旋转与几何综合【例题精讲】例1：如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（）例2：如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．∠ABD=∠EB．∠CBE=∠CC．AD∥BCD．AD=BC例3：如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=，度．例4：如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论是（填序号）专题1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半应用1如图1，在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别是BC与EF的中点，试说明：MN⊥EF图1图22如图2，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是()A．21B．18C．13D．153.如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别AC、BD的中点．求证：MN⊥BD．4.如图，CD、CF分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且CD⊥AB，取AC中点E，连接DE交CF于点F，求证DE=EF.专题2：在直角三角形中，30度的角所对的直角边等于斜边的一半1.（2015秋•宜春校级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE=2cm，则BC=______cm．2.（2014秋•兴化市校级月考）如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，DE=4，则BE=______．3.如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°．若CD=1，求AB的长度______．专题3：等腰三角形的高1.在△ABC中，AB＝AC，P是直线BC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD⊥AC于点D.（1）如图1，当点P在线段BC上时，试说明PE、PF、BD的关系并证明。（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，试说明PE、PF、BD的关系并证明。2.（太仓期中）△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE、DF、BN三者的数量关系为；【变式训练】1.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′ACD．B′C平分∠BB′A′2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）3.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是．4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．等腰三角形的存在性问题解题策略专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1例❷如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．图2-1例❸如图3-1，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．图3-1例❹如图4-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．当△APD是等腰三角形时，求m的值．图4-1例❺如图5-1，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，如果△ADE为等腰三角形，求x的值．课后习题一、夯实基础1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为()A．6B．7C．8D．92．若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是()A．20°B．50°C．60°D．80°3．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则∠EAB＝______度．4、如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是()A．22cmB．20cmC．18cmD．15cm二、能力提升5．如图，坐标平面内有一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A．2B．3C．4D．56．如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在()A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点7．在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为()A．9B．8C．7D．68．如图，P，Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝()A．125°B．130°C．90°D．120°三、课外拓展9．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于点D，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于__________．10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度．11．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是__________．四、中考链接12.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD；(2)△OAB是等腰三角形．13.已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE；(2)△ABC为等边三角形．14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．15.如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．