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精锐教育网站:精锐教育学科教师辅导学员编号:年级:初二课时数:3课时学员姓名:辅导科目:数学学科教师:课题等腰三角形教学目的1、熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点:等腰三角形的性质难点:“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固:1.等腰三角形定义:2.等腰三角形的性质:3.等腰三角形的判定:【知识点简单运用】ABC精锐教育网站:、如图,在△ABC中,ACAB,D在AC上,且,BDBCAD求△ABC各角的度数。练习:1、如图△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°),AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,图中有哪些相等的线段?2、如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数。例2:求证:如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。(写出已知和求证,画出图形)随堂练习:1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____°精锐教育网站:(1)(2)2.如图2,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.3.等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P运动的时间应为________.动手操作:拿出一张类似于如图(1)的矩形纸张,按照虚线对折如图(2),按(3)中的线段剪开,得到图形(4),DE、DF分别是边AC、BC上的高线,观察DF与DE的关系,并给予证明。(1)(2)(3)(4)(5)如果DE、DF是两边上的中线或者是∠ADC,∠BDC的平分线,它们还相等吗?【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律精锐教育网站:.在△ABC中,AB=AC,∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?若∠1=13∠ABC,∠2=13∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?若∠1=1n∠ABC,∠2=1n∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中,根据等腰三角形的性质,∠1=∠2,∠ABD=∠ACE,即可得到∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB时,∠BOC=90°+12∠A;∠1=13∠ABC,∠2=13∠ACB时,∠BOC=120°+13∠A;∠1=1n∠ABC,∠2=1n∠ACB时,∠BOC=1nn·180°+∠A.【点评】在例1图中,若AE=1nAB,AD=1nAC.类似上题方法同样可证得BD=CE.上述规律仍然存在.练习:如图,在下列三角形中若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是。会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.【分析】要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15两种情况讨论.AAAABBBCCC36°45°90°108°精锐教育网站:练习:1、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE=________.2、同学们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示,是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠AOA′等于()A.25°B.50°C.60°D.130°利用等腰三角形的性质证线段或角相等例3.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.【分析】(1)把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ.利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ,得到AP=CQ.(2)连接PQ,则△PBQ是等边三角形.PQ=PB,AP=CQ故CQ:PQ:PC=PA:PB:PC=3:4:5,∴△PQC是直角三角形.【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明.精锐教育网站:练习:已知:如图所示,ACBABC,的平分线交于F,过F作,//BCDE交AB于D,交AC于E.求证:DEECBD.例:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,BP⊥AD于P,AB=5,BP=2,AC=9。求证:∠ABP=2∠ACB。练习:1、如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);(2)选择第(1)小题中的一种情况,证明△ABC是等腰三角形.2、如图,AD=BC,AC=BD,求证△EAB是等腰三角形。ABCEFDAPDCB精锐教育网站:实际应用:上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°.求从海岛B到灯塔C的距离。练习:要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m的四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用()A.L1B.L2C.L3D.L4典型题目练习:1、如图,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点。试判断OE和AB的位置关系,并给予证明。2、如图,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,延长CB至D,使DB=BA,延长BC至E,使CE=CA。连接AD、AE。求∠D,∠E,∠DAE的度数。精锐教育网站:(2)(3)3、如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,求证AD垂直平分EF等腰三角形有时作为隐含的挑拣出现在题目中,需要我们能够识别出来,下面列出五种常见的情形:①②OC为∠AOB的平分线,CD//OB于AO于点D,则△ODC是等腰三角形。想一想:为什么?△ABC中,AB=AC,DE//BC则△ADE为等腰三角形。想一下,相等的两腰为什么?一起发现数学中的美!精锐教育网站:③④⑤△ABC中,OC为∠AOB的平分线,D是OB上一点,DC⊥OC于C,延长DC交OA于E,则△DOE是等腰三角形,其中OD=OE,DC=EC想一想,为什么?C是线段AB的垂直平分线上的一点,则△ABC是等腰三角形,其中AC=BC想一想,为什么?△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠ABD=36°,则图中共有三对等腰三角形,哪三对?顶点为36°的等腰三角形是黄金三角形,它较等边三角形又多了一份秀气,更有着很多“神奇”的性质;它的底角平分线(BD)将原三角形分割成两个等腰三角形,其中一个(△BCD)仍保持着黄金三角形的形状。不仅如此,点D在AC上的位置也有着非同一般的意义,即DA2=CD×AC,即点D是线段AC的黄金分割点。(五角星是由一个正五边形和五个黄金三角形组成的)精锐教育网站:
本文标题:初二等腰三角形讲义
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