4点、线、面的投影

4点、线、面的投影4.1点的投影4.2直线的投影4.3两直线的相对位置4.4平面的投影4.5换面法4.6直线与平面、平面与平面的相对位置4.1点的投影点的单面投影４.1.１点的三面投影及其特性４.1.２特殊点的三面投影４.1.３两点的相对位置４.1.４重影点的可见性判别PaA点的单面投影若点的位置确定，点的投影是确定的。Pa(b)B若点的一个投影确定，点的位置是不确定的。A点的单面投影4.1.1点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZ空间点——AH面投影——aV面投影——aW面投影——a4.1.1点的三面投影及其特性XZYWOYHHWVaHaWa移去空间点V面不动H面连同水平投影绕X轴向下旋转W面连同侧面投影绕Z轴向右旋转VWHXZYOAaaaaxayaz4.1.1点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZVWHXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW点的投影连线垂直于相应的投影轴点的H面投影与V面投影的连线垂直于OX轴——aa⊥OX点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴——aa⊥OZ4.1.1点的三面投影及其特性VWHXZYOAaaaaXaYaZXZYWYHOaaaaXaZaYHaYW某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离aaZ=aaYH=Aa,点到W面的距离——X坐标aaX=aaZ=Aa,点到V面的距离——Y坐标aaX=aaYW=Aa,点到H面的距离——Z坐标【例4-1】已知A点的H面投影a和V面投影a，求A点的W面投影a。XZYWYHOaaaYWbXZb'b''OYHZXYO4.1.2特殊点的三面投影WVa'BHAaa''b'b''bCcc'ca'aa''cc'c投影面上的点在该投影面上的投影与空间点自身重合，另外两个面上投影在相应的坐标轴上。YXHVWO4.1.2特殊点的三面投影f''e'dd'De''EfFd''ef'Z投影轴上的点在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，另一投影面上的投影与坐标原点重合。dd'd''XOZYHYWf''ff'e'e''e4.1.3两点的相对位置AOVWHZYXB根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置——两点的左右关系，X坐标大在左，小的在右；——两点的前后关系，Y坐标大在前，小的在后；——两点的上下关系，Z坐标大在上，小的在下。bbbaaaYWXZYHOaaabbb4.1.4重影点的可见性判别b()当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的重影点。OVWHZYXBbbAaaa4.1.4重影点的可见性判别b()OVWHZYXBbbAaaaYWXZYHOaaabbb()不可见的投影字母加括号（）表示判断的基本原则——看第三坐标，大者可见4.1.4重影点的可见性判别Xb(c)OVWHZYXBCbccbYWZYHObbccb(c)前遮后上遮下左遮右4.2直线的投影直线的倾角和分类４.2.１投影面垂直线４.2.２投影面平行线４.2.３一般位置直线４.2.４直线上的点直线的倾角OVWHZYXA倾角:空间直线对投影面的夹角α——对H面的倾角β——对V面的倾角γ——对W面的倾角BOYWXZYHbbbaaaaaabbb直线的分类直线一般位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面平行线4.2.1投影面垂直线铅垂线——⊥H，//V、W正垂线——⊥V，//H、W侧垂线——⊥W，//H、V垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面4.2.1投影面垂直线铅垂线TLTLa(b)OYWXZYHaabba(b)bOVWHZYXBAbaaa(b)投影特性H——积聚为一点V、W——反映实长，//OZ倾角α＝90°β＝γ＝0°4.2.1投影面垂直线正垂线dOVWHZYXDCc(d)cdcTLTLOYWXZYHcdcdc(d)投影特性V——积聚为一点H、W——反映实长，//OY倾角β＝90°α＝γ＝0°4.2.1投影面垂直线侧垂线OVWHZYXFEee(f)fefTLTLOYWXZYHefefe(f)投影特性W——积聚为一点V、H——反映实长，//OX倾角γ＝90°α＝β＝0°4.2.1投影面垂直线侧垂线OVWHZYXFEee(f)fefTLTLOYWXZYHefefe(f)投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在另外两个投影面上的投影平行于相关的投影轴，并反映直线实长TL4.2.2投影面平行线水平线——//H，∠V、W正平线——//V，∠H、W侧平线——//W，∠H、V平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面4.2.2投影面平行线水平线TLOVWHZYXBAbbbaaaOYWXZYHaaabbb投影特性H——反映实长,反映β、γ倾角V、W——长度小于实长,⊥OZ4.2.2投影面平行线正平线OVWHZYXＣＤcccddd投影特性V——反映实长,反映α、γ倾角H、W——长度小于实长,⊥OYOYWXZYHdddcccTL4.2.2投影面平行线侧平线OVWHZYXFEffｆｅｅeOYWXZYHeeefffTL投影特性W——反映实长,反映α、β倾角V、H——长度小于实长,⊥OX投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实长，反映直线与另两个相关的投影面的倾角另外两个投影垂直于相关的投影轴，投影长度小于实长4.2.2投影面平行线侧平线OVWHZYXFEffｆｅｅeOYWXZYHeeefffTL4.2.3一般位置直线与三个投影面均倾斜OYWXZYHaaabbbOVWHZYXBAbbbaaa4.2.3一般位置直线OYWXZYHbbbaaaOVWHZYXABaaabbb投影特性：三个投影均倾斜于投影轴投影长度小于实长baba⊿Zα⊿ZTLα⊿ZBAbabaA1TLOVHZYXOX4.2.3一般位置直线直角三角形法求实长和α4.2.3一般位置直线直角三角形法求实长和βBβAbaaB1⊿YTLOVHZYXbbaba⊿Yβ⊿YTLOXOVHXaABabbZY4.2.4直线上的点CcccW从属性若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。YWOXZYHbbbaaaabccc定比性若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度之比。AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb【例4-2】已知直线段AB的两面投影ab和ab，在直线AB上求作一点K,使AK:KB=2:3。kk'XbaOa'b'12345【例4-3】已知侧平线AB和M、N两点的H面和V面投影，判断M点和N点是否在AB上。baababmmm从属性nnnOXYWZYH【例4-3】已知侧平线AB和M、N两点的H面和V面投影，判断M点和N点是否在AB上。baabmm定比性nnOX3124.3两直线的相对位置４.3.１两直线平行４.3.２两直线相交４.3.３两直线交叉４.3.４两直线垂直4.3.1两直线平行WacZVCa'OAd'Db'c'dbYcbBdaHXZcdba'd'b'c'cdabXYWaOYH投影特性两直线的同面投影相互平行；两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。4.3.1两直线平行WacZVCa'OAd'Db'c'dbYcbBdaHXZcdba'd'b'c'cdabXYWaOYH已知AB//CD，则ab//cd,ab//cd,ab//cdAB:CD=ab:cd=ab:cd=ab:cd4.3.1两直线平行判断两直线是否平行对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行；对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。baabdcdcXObcbdacaOXdbacdabdcdcab【例4-4】（a）已知两侧平线AB和CD,判断AB和CD是否平行。【解一】作出第三投影【解二】字母顺序一样,投影长度成比例ZXYWOYHfeghefhgghef【例4-4】（b）已知两侧平线EF和GH,判断EF和GH是否平行。ZXYWOYH【解一】作出第三投影【解二】EF和GH的V、H投影字母顺序不一样，EF和GH的指向不一致4.3.2两直线相交空间两直线相交三个同面投影均相交，并且交点符合点的投影特性。Xd'b'c'a'cbadabdck'kkYWYHOZVHAZYBDCd'a'c'b'Wcdbadcabk'kkKOXcddcdcbabaabkkkZXYWOYH【例】已知两直线AB和CD,判断AB和CD是否相交。【解一】作出第三投影【解二】ak:kbak:kb4.3.3两直线交叉两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线VHDBCAddccaabbOXYZbabacdcdXO4.3.3两直线交叉可能存在一个或两个同面投影相互平行，但不存在三个同面投影都平行。——和平行的区别可能有一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合点的投影特性。——和相交的区别两直线交叉的投影特性：4.3.3两直线交叉VH34()DBCAddccaabb123412()ⅠⅡⅢⅣdcdcabab34341212()()OXYZ判断重影点的可见性4.3.4两直线垂直直角投影定理：若空间两直线垂直，且有一条平行于某一投影面，那么在该投影面上的投影仍然反映直角。∵AB⊥BCAB⊥Bb∴AB⊥平面BbcC有AB⊥bc又AB∥ab故ab⊥bcHACBacb4.3.4两直线垂直直角投影定理的逆定理：若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则两直线必垂直。HACBacbcOabcabX【例4-5】已知直线AB和点C的两面投影,求C点到AB的距离。XOa'ab'bc'cd'd距离【例4-6】求交叉直线AB和CD的距离MN实长及其投影。XOa'b'abc'cd'dnn'm'm距离4.4平面的投影４.4.１平面的表示法４.4.２各种位置平面４.4.３平面内的点和直线4.4.1平面的表示法用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交两直线；平行两直线；任意平面图形。cabbacabbcacabbcacbbacac几何元素表示法abcabcdd4.4.1平面的表示法迹线表示法迹线：平面和投影面的交线。VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHOPWPVPH4.4.1平面的表示法迹线表示法迹线：平面和投影面的交线。VWHZYOXQWQHQVXZYWYHOQQVQWQH4.4.2各种位置平面平面一般位置平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面4.4.2各种位置平面水平面——//H，⊥V、W正平面——//V，⊥H、W侧平面——//W，⊥H、V平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直投影面平行面投影特性H——反映实形V、W——积聚成一直线，⊥OZ倾角α＝0°β＝γ＝90°4.4.2各种位置平面投影面平行面——水平面VWHZYOXpppPXZYWYHOppp（TS）投影特性V——反映实形H、W——积聚成一直线，⊥OY倾角β＝0°α＝γ＝90°4.4.2各种位置平面投影面平行面——正平面VWHZYOXqQqqXZYWYHOqqq（TS）投影特性W——反映实形H、V——积聚成一直线，⊥OX倾角γ＝0°α＝β＝90°4.4.2各种位置平面投影面平行面——侧平面VWHZYO