正弦函数和余弦函数的图像与性质

函数函数函数函数正弦函数、余弦函数的图象和性质2利用正弦线作出的图象.π20sin，，xxyoxy---11---1--1oA作法:(1)等分;3π2π3π26π5π6π73π42π33π56π11π26π(2)作正弦线;(3)平移;61P1M/1p(4)连线.一、正弦函数、余弦函数的图象(几何法)1、用几何法作正弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图象l1M1Q2M(1)等分作法：(2)作余弦线(3)竖立、平移(4)连线2Qyx---1--oxy---1121oA32326567342335611261P1M/1pyoxy---11---1--1o32326567342335611262、用几何法作余弦函数的图像:正弦曲线xy---------1-1π2o462π4π6由终边相同的角三角函数值相同，所以y＝sinx的图象在…，[-4，-2]，[-2，0]，[0，2]，[2，4]，…与y＝sinx，x[0，2]的图象相同，于是平移得正弦曲线.因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，…与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同2,4,0,2,,2,0,4,2余弦曲线2o46246xy---------1-1返回单击：与x轴的交点:，，)00(，，)0π(；，)0π2(图象的最高点:图象的最低点:．，)12π3(观察y＝sinx，x[0，2]图象的最高点、最低点和图象与x轴的交点？坐标分别是什么？2oxy---11-3π2π3π26π5π673π42π33π56π11π26π；，)12π(五点作图法正弦函数、余弦函数的图象与x轴的交点)0,0()0,()0,2(图象的最高点图象的最低点)1,(23与x轴的交点)0,(2)0,(23图象的最高点)1,0()1,2(图象的最低点)1,((五点作图法)2oxy---11--13232656734233561126-oxy---11--13232656734233561126)1,2(简图作法(1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)(2)描点(定出五个关键点)1.试画出正弦函数在区间上的图像.[0,2]12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xOy112232五个关键点：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22利用五个关键点作简图的方法称为“五点法”课堂练习2.试画出余弦函数在区间上的图像.[0,2]12108642-2-4-6-8-10-12-20-15-10-55101520xOy112232五个关键点：3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22并注意曲线的“凹凸”变化.课堂练习列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．连线：用光滑的曲线顺次连结五个点．描点：定出五个关键点．五点作图法x6yo--12345-2-3-41定义域(1)值域xR[－1,1]二、正弦函数的性质)(π22πZkkx时，取最小值－1；时，取最大值1；)(π22πZkkx观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：周期的概念一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．奎屯王新敞新疆由公式sin(x＋k·2)＝sinx(kZ)可知：正弦函数是一个周期函数，2，4，…，－2，－4，…，2k(kZ且k≠0)都是正弦函数的周期．2是其最小正周期.(2)正弦函数的周期性(3)正弦函数的奇偶性由公式sin(－x)＝－sinx图象关于原点成中心对称.正弦函数是奇函数．xyo--1234-2-312π2π32π52π72π2π32π5在闭区间上,是增函数；2π2π，(4)正弦函数的单调性xyo--1234-2-312π2π32π52π72π2π32π5xsinx2π2π2π3…0………-1010-1在闭区间上，是减函数.2π32π，Zkkk,π22ππ,22π观察正弦函数图象Zkkk,π223ππ,22π余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcox22-……0……-1010-1增区间为其值从-1增至1[+2k,2k],kZ减区间为，其值从1减至-1[2k,2k+],kZyxo--1234-2-31223252722325y=sinxy=cosx图象RR[1,1][1,1])(22Zkkx时ymax=1)(22Zkkx时ymin=1)(2Zkkx时ymax=1)(2Zkkx时ymin=1)(Zkkx)(2Zkkxxyo--1234-21定义域值域最值y=0xyo--1234-21y=sinxy=cosx图象周期性奇偶性单调性22奇函数偶函数)](22,22[Zkkk)](223,22[Zkkk)](2,2[Zkkk)](22,2[Zkkk单调增区间:单调减区间:单调增区间:单调减区间:xyo--1234-21xyo--1234-21例1.用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的图像。（1)y=2+sinx;(2)y=sinx-1；(3)y=3sinx.y=sinx-1x∈[0,2π]y=sin3xx∈[0,2π]y=2+sinxx∈[0,2π]．．．2．32xy0π．2π1-1x23例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量的值.x(1)23(sin)22yx(2)2cosyx解:(1)max2y当时，2,xkkZmin2y当时，2,xkkZ(2)视为23()2,sin2yuux当，即时，1u2,2xkkZmax174y当，即时，1u2,2xkkZmin74y例3.当x∈[0，2π]时，求不等式的解集.1cos2x³5[0,][,2]33pppUxyO2ππ122-112y=变式问题:如果x∈R呢?例4.下列函数的定义域：1y=2y=xsin11xcos2例5.求下列函数的最值：1y=sin(3x+)-12y=sin2x-4sinx+54例6.求下列函数的单调区间：(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx函数在上单调递减[+2k,+2k],kZ22函数在上单调递增[+2k,+2k],kZ223(2)y=3sin(2x-)4224222kxk838kxk2324222kxk8783kxk单调增区间为]83,8[kk所以：解：单调减区间为]87,83[kk例7.不通过求值，比较下列各对函数值的大小：(1)sin()和sin()；18π10π(2)sin和sin3π2．4π3解(1)因为，＜＜＜2π18π10π2π且y＝sinx在上是增函数．]2π2π[，(2)因为，＜＜＜π4π33π22π所以sin＞sin．4π33π2且y＝sinx在上是减函数，]π2π[，．＜)18πsin()10πsin(所以例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性解函数的定义域R关于原点对称xxxxxfsin)sin()()()sin()()(xfxxxf)()(xfxf所以函数y=xsin(+x)为偶函数函数的奇偶性定义域关于原点对称)()(xfxf)()(xfxf偶函数奇函数1选择题①函数y=4sinx,x[-,]的单调性（）A在[-，0]上是增函数，[0，]是减函数；B在[-/2，/2]上是增函数，在[-，/2]上是减函数；C在[0，]上是增函数，在[-，0]上是减函数；D在[/2，]及[-，-/2]上是增函数，在[-/2，/2]上是减函数。②函数y=cos(x+/2),xR()A是奇函数；B是偶函数；C既不是奇函数也不是偶函数；D有无奇偶性不能确定。BA2不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：260sin_250sin9/14cos_8/15cos530cos_515cos)8/63sin(_)7/54sin(3判断下列函数的奇偶性：①②（答案：①偶函数②既不是奇函数也不是偶函数）xxxfcossin)(xxxxxfcossin1cossin1)(y=sinxy=cosx图象RR[1,1][1,1])(22Zkkx时ymax=1)(22Zkkx时ymin=1)(2Zkkx时ymax=1)(2Zkkx时ymin=1)(Zkkx)(2Zkkxxyo--1234-21定义域值域最值y=0xyo--1234-21y=sinxy=cosx图象周期性奇偶性单调性22奇函数偶函数)](22,22[Zkkk)](223,22[Zkkk)](2,2[Zkkk)](22,2[Zkkk单调增区间:单调减区间:单调增区间:单调减区间:xyo--1234-21xyo--1234-21求三角函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间