(必修4优秀课件)2.4.1-平面向量的数量积的物理背景及其含义

向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，abOAaOBb则∠AOB=θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与的夹角.ababθOabAB当θ=0º时，与同向；ab当θ=180º时，与反向；ab当θ=90º时，与垂直，记作。abababababθsF一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，是F与s的夹角，而功是数量.|s||F|Wcos问题的提出平面向量的数量积：已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定||||cosabababab||||cosabab其中θ是与的夹角，叫做向量在方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即。ab||cos(||cos)bababa00aθBB1OAab1||||cosOBb数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aba||aba||cosbθBB1OAab思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？当θ为锐角时，向量的数量积为正；当θ为钝角时，向量的数量积为负。由向量数量积的定义，试完成下面问题：_______.___________________.(3)||____||||.()ababababababaaabab；反；若与同向,若与向,填或(1)(2)注：常记为。aa2a||aaa0||||ab||||ab2||a≤22()||aa证明向量垂直的依据例1.已知，的夹角θ=120º，求。||5,||4abab与ab解：||||cos54cos120154()210=abab;()()();().abbaababababcacbc(1)(2)(3)思考：等式是否成立？()()abcabc数量积的运算规律：不成立1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号确定；注意：2、两个向量的数量积称为内积，写成;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；ba3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数量积中,若，且,不能推出。因为其中cosθ有可能为00ba0a0b4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得a=c.但是有不能得cbbaca5、在实数中（a·b)c=a(b·c),但)()(cbacba例2.我们知道，对任意，恒有,abR22222()2,()().abaabbababab对任意向量是否也有下面类似的结论？,,ab22222()2;()().abaabbababab(1)(2))()(,,.babababa3260463，求的夹角为与已知例互相垂直？与向量为何值时，不共线，与且已知例bkabkakbaba,,.434小结向量的数量积计算时，一要找准向量的模；二要找准两个向量的夹角。作业P108习题A组1、2、3结束