二次函数信息归类专题

实验中学数学组二次函数的概念：一般地,如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)那么y叫做x的二次函数。二次函数信息归类专题实验中学数学组自学指导：一、知识梳理1、二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)中a、b、c分别决定抛物线的什么？2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当x=1时，y=,当x=-1时，y=,当x=2时，y=,当x=-2时，y=.3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，b2-4ac决定抛物线的什么？知识点一控制图像的“幕后高手”---a、b、c(1).a决定开口方向和大小：a＞0↔开口_______；（如图1）a＜0↔开口_______；（如图2）相同，抛物线的形状_____；越大，抛物线开口越____。aa（图1）（图2）向上向下相同小(2).a、b决定对称轴的位置：b=0↔对称轴是_______；（如图1）a、b同号↔对称轴在y轴的___侧；（如图2）a、b异号↔对称轴在y轴的___侧。（如图3）y轴左右规律：左同右异规律：左同右异当对称轴x=1时，即，则当对称轴x=-1时，即，则12ab12ab2a+b=0或b=-2a2a-b=0或b=2a(3).c决定抛物线与y轴交点的位置：c=0↔抛物线经过_____；（如图1）c＜0↔抛物线交于y轴的_____；（如图2）c＞0↔抛物线交于y轴的_____。（如图3）原点正半轴负半轴即时训练：1、（2015•山东莱芜,第9题）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D2.（2015•福建泉州第7题3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．C知识点二二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当x=1时，y=当x=-1时，y=当x=2时，y=当x=-2时，y=a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c决定抛物线与x轴的交点个数：=0↔抛物线与x轴只有___个交点；（如图1）＞0↔抛物线与x轴有___个交点；（如图2）＜0↔抛物线与x轴有___个交点。（如图3）24bac24bac24bac24bac一两0（即没有交点）知识点三已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：④其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20040bcbac①②③0abc2yaxbxc0aC即时训练：1、(2015年贵州)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④B自学指导：二、综合应用：2.（2015•四川凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当-1≤x≤3时，y0，③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1x2时，y1y2，④9a+3b+c=0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④B3.（2014•山东聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a④若（﹣3，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．B4．（2015•山东潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4B感悟与收获这堂课你收获了什么？1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线图象的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定。2、会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：x=1时,y=a+b+c，x=-1时,y=a-b+c，x=2时,y=4a+2b+c，x=-2时,y=4a-2b+c，然后根据图象判断其值正负．3、抛物线与x轴交点的个数由b2-4ac确定。方法指导：达标检测1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0B．2a+b=0C．b2﹣4ac＞0D．a﹣b+c＞0D2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个B3、如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A.①②③B.①③④C.①③⑤D.②④⑤C4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4C作业：《试题解读》62页二次函数信息归类专题3.（2014•四川巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0B、﹣3a+c＜0C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+cB2、(2015年贵州)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．B即时训练：1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小B6.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，1）考点：二次函数图象与系数的关系．D4.(2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0B．0或2C．2或﹣2D．0，2或﹣2考点：抛物线与x轴的交点．D211．（2014•甘肃兰州,第6题4分）抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）A．y轴B．直线x=﹣1C．直线x=1D．直线x=﹣3C3、（2014•江苏苏州,第8题3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．2D．5考点：二次函数图象上点的坐标特征．B2、(2014年河南9)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为.答案：8.解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.6.（2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1B．y=x2+1C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2C5．(2014年贵州黔东南（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012B．2013C．2014D．2015D解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确；当x=1时，y=2a+b+c，∵对称轴是直线x=﹣1，∴，b=2a，又∵c=0，∴y=4a，故③错误；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B．方法指导：1、二次函数图象与二次函数系数之间的关系，（1）.a决定开口方向和大小：a＞0↔开口向上；a＜0↔开口向下；相同，抛物线的形状_____；越大，抛物线开口越____。（2）a、b决定对称轴的位置：规律：左同右异中为零(3)c决定抛物线与y轴的交点：c=0↔抛物线经过原点；c＞0↔抛物线交于y轴的正半轴；c＜0↔抛物线交于y轴的负半轴。2、会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：x=1时,y=a+b+c，x=-1时,y=a-b+c，x=2时,y=4a+2b+c，x=-2时,y=4a-2b+c，然后根据图象判断其值正负．3、二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.4．图象的平移规律是：上加下减，左加右减．aa3．（2014•四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤4.函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数y=5x2的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到.5.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数，图象顶点必在（）.A.直线y=-x上B.x轴上C.直线y=x上D.y轴上右3下2A