正弦定理余弦定理应用举例

1.2.1应用举例解斜三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：RCcBbAa2sinsinsinAbccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22221801CBA、2、大角对大边，小角对小边。，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos222余弦定理的应用条件：（1）已知三边，求三个角；或者已知三边的比例，求三个角（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；（3）已知两边及对角，求第三边和其它两角三角形的面积公式111ABC222SabsinCbcsinAacsinB。:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在(1)测量距离.(2)测量高度..)3(测量角度实际应用问题中有关的名称、术语1.仰角、俯角、视角。（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）水平线视线视线仰角俯角2.方向角、方位角。（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角。（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。东西北南60°30°45°20°ABCD点A在北偏东60°,方位角60°.点B在北偏西30°,方位角330°.点C在南偏西45°,方位角225°.点D在南偏东20°,方位角160°.ACB51o55m75o例1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离．解：在△ABC中，AC＝120，A＝45°，C＝75°，则B＝180°－(A＋C)＝60°，由正弦定理，得AB＝ACsinCsinB＝120sin75°sin60°＝20(32＋6)．即A，B两点间的距离为20(32＋6)m.变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=60304560求A、B两点间距离.CBA？可到达点不可到达点Dm4060304560)]604530(180sin[)6045sin(40AC)]453060(180sin[45sin40BC45sin105sin40并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得解：CD=40m,45sin45sin40),13(20.40CBA？可到达点不可到达点D60304560),13(20AC.40BC这样在⊿ABC中,∠BCA=60°,由余弦定理得：cos222BCACBCACAB60cos40)13(20240)13(20222.620答：A,B两点间的距离为米.620解：CBA？可到达点不可到达点Dm4060304560)]604530(180sin[30sin40AD45sin40BD45sin30sin40并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得CD=40m,,220.240CBA？可到达点不可到达点D60304560,220AD.240BD这样在⊿ABD中,∠BDA=60°,由余弦定理得：cos222BDADBDADAB60cos2402202)240()220(22.620答：A,B两点间的距离为米.620练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．[解]如图8所示，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(nmile)．由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝15×sin120°sin15°＝32＋62×15(nmile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(nmile)．∴A，D两处的距离是15(3＋3)nmile.112230210520201201023ABAB如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处【，此时两船相距海变式练习】里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？1211221222112211212122212111211122212.2020102302102.60601056045.2cos45220(102)2201022200102.ABABABAABAAAABBABABBBBABABABABBB连结依题意知＝，＝，＝＝易知＝，所以是等边三角形，则＝－＝在中，由余弦定理得＝＋－，＝＋－＝，所以＝因此，乙【解析】船的速度10260302(/)20302/为＝海里小时．答：乙船每小时航行海里小时．).1(,3.27'.150,'4054,.400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶如图例ABCD)(177)1504054sin(4054sin150cos3.27)sin(sincossin,''''mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，ABCD（2015·湖北高考）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=__________m.【变式练习】1006【解析】在ABC中，30,753045,CABACB根据正弦定理知，,sinsinBCABBACACB即6001sin3002m,sin222ABBCBACACB（）所以3tan30021006m.3CDBCDBC（）A【例5】缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h.若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追．求追及所需的时间和角α的正弦值．2221410120.141210240cos120220sin120532820sin.2814532sin.14ACxBABxBCxACBxxxxABBC如图，设、分别表示缉私艇、走私船的位置，设经过小时后在处追上．则有＝，＝，＝所以＝＋－，所以＝，则＝，＝，＝＝所以追及所需的时间为小时，＝【解析】38303045.(sin150.26cos150.9721.1454)ABACA如图，海中小岛周围海里内有暗礁．一船正在向南航行，在处测得小岛在船的南偏东，航行海里后，在处测得小岛在船的南偏东如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险【？＝，＝，＝变式练习】sinsin3030sin30.sin15sin30sin1530sin30·sin45sin4540.8.sin1540.838BCACABACACABCdAC由正弦定理得＝，即＝，所以＝则点到直线的距离＝＝由于，故此船不改变航向也无触礁【解析】的危险．302•[例6]在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝且AD＝BD，求△ABC的面积．[解]设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，∴sinC＝ADCD·1－cos2∠CAD＝41－31322＝387.3231ABCD在△CAD中，由余弦定理可知：cos∠CAD＝5－x2＋42－x22×4×5－x＝3132，解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知：ADsinC＝CDsin∠CAD，∴S△CAB＝12AC·BC·sinC＝12×4×5×387＝1547.答：三角形ABC的面积为1547.[例7]在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为72，求边长a.[解]如图2所示，∵AD是BC边上的中线，在△ACD中，有cosC＝72＋x2－7222×7×x，∴可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.∵c＝4，b＝7，AD＝72，在△ABC中，有cosC＝72＋2x2－422×7×2x.∴72＋x2－7222×7×x＝72＋2x2－422×7×2x.解得x＝92.∴a＝2x＝9.•迁移变式2如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．解：在△ACD中，由余弦定理，得cosC＝AC2＋CD2－AD22AC·CD＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C为三角形的内角，∴C∈(0，π)，∴sinC＝1－cos2C＝1－11142＝5314.在△ABC中，由正弦定理，得ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝7×5314sin45°＝562.正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用3sincos2.1sin283ABCACAAAABCSBC在中，已知＝，＋＝求的值；若的面积＝，求【例】的值．sincos2sin()241AAA【解析】由＋＝＋＝，sin()1.4A得＋＝50444AA由此及，即＋，.424AA得＋，故＝132·sin3224SACABAAB【解析】由＝＝＝，3sincos2.1sin283ABCACAAAABCSBC在中，已知＝，＋＝求的值；若的面积＝，求【例】的值．22.AB得＝2222cosBCACABACABA由此及余弦定理得＝＋－298232252＝＋－＝5.BC故＝.4cos5.51sin2sin(2)33sinsin2ABCABCabcAbcCACABCSBCa在中，角、、的对边分别为、、已知＝，＝求的值【；求＋的值；若变式练习的面积＝，求】的值．2222222c1os26818abcbcAccc因为＝＋－＝析－＝【解】，32.ac所以＝43cos0sin.55AAA因为＝，，所以＝3sin25sin.sinsin1032caccACACac因为＝，所以＝＝＝272cos1sn2i.10caCCC因为，所以为锐角，＝＝.4cos5.1sin52sin(2)33sinsin2ABCABCabcAbcCACABCSBCa在中，角、、的对边分别为、、已知＝，＝求的值【；求＋的值；变式练若的面积＝，习求】的值．3424sin22sincos25525AAA又＝＝＝，2167cos22cos121,2525AA＝－＝72sin(2)sin2coscos2sin.10ACACAC所以＋＝＋＝5sin35sinbcBC因为＝，所以＝，.4cos5.1sin2sin(