中等职业学校数学竞赛试题

德州市中等职业学校数学竞赛试题说明：本竞赛试题包括第一卷、第二卷两部分，共27个小题，共计110分（含10分的附加题），所有答案务必写在第二卷的规定位置（第Ⅰ卷）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分，把答案写在第Ⅱ卷上）1下列表达式正确的是（）A0∈ΦB{0}=ΦCΦ{0}DΦ∈{0}2设全集I=｛a,b,c,d,e｝,A={a,b,d},B={b},则(CUA)∪B=A{b}B{a,b}C{a,b,d}D{b,c,e}3将二次三项2x2-4x+5式进行配方，正确的结果是（）A2(x-1)2+3B(x-1)2+3C2(x-1)2+1D(x-2)2+14一元二次不等式x2-x-2＜0的解集是（）A{xx＜2}B{x2＜x＜1}C{xx＞2或x＜-1}D{x1＜x＜2}5若a∈(0,1)，则下列不等式中正确的是（）Aa0.6＞a0.5Ba0.6＜a0.5Cloga0.8＞loga0.7Dloga10.8＜loga10.76y=log2x与y=log21x的图像关于（）对称Ay轴Bx轴C原点D直线y=x7sinα＜0，tanα＞0的充要条件是（）Aα是第一象限的角Bα是第二象限的角Cα是第三象限的角Dα是第四象限的角8三个正数a、b、c成等比数列，则lga、lgb、lgc是（）A等比数列B等差数列C即是等差数列又是等比数列D即是等差数列又是等比数列9cos1、sin1、tan1的大小关系是（）Acos1＜sin1＜tan1Bsin1＜cos1＜tan1Ctan1＜sin1＜cos1Dcos1＜tan1＜sin110若θ为第二象限的角，那么（）Asin2＞0Bcon2＜0Ctan2＞0Dcot2＜011下列命题正确的是（）A若a＞b，则ac2＞bc2B若a＞b，c＞d，则ac＞bdC若2ca＞2cb，则a＞bD若a＞b，则a1＜b112已知偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(-1)于f(-3)的大小关系是（）Af(-1)＜f(-3)Bf(-1)＞f(-3)Cf(-1)＝f(-3)D无法比较13已知f(ex)=x，则f(5)=（）Ae5B5xCln5Dlog5e14已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则a实数的取值范围是()Aa≤3Ba≤-3Ca≥-3Da≥315已知a＞0，若不等式4x+3x＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是（）Aa＞0Ba＞1Ca≥1Da＞2德州市中等职业学校数学竞赛试题（第Ⅱ卷）题号一二三总分2324252627得分一、选择题（请将第一题选择题答案的题号填在下表）题号123456789101112131415答案二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，共21分）16二次函数y=x2+4x+3的图像的顶点坐标是。17函数y=)2(log21x的定义域是。182logsin33155)325(10lg)027.0(=。19在等差数列中,若a2=5，a8=10．则a14的值为。20函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞）上是增函数，在区间(-∞,-2)是减函数。则f(1)=。21首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是。22已知集合A={x1x＜2＝，B={x1x＞1}，则A∩B等于（用区间表示）三、解答或证明（本大题共4个小题，共34分）23．（本小题8分）设方程x2-px-3=0的解集是A，方程x2+2x+q=0的解集是Ｂ．且A∩B={3}求①q、p的值；②A∪B24．（本小题8分）某商店按批发价每件6元购进一批货，零售价为8元时可卖出100件，如果零售价高于8元，则一件也卖不出去，如果零售价从8元每降低0.1元则可多卖10件。①写出可卖出的件数q与零售价x(6＜x≤8)之间的函数关系式.②写出所获利润y与零售价x(6＜x≤8)之间的函数关系式.③试求零售价定为多少时，所获利润最大？最大利润是多少？学校姓名座号密封线密封线内不得答题25．（本小题9分）已知数列{an}：balog2、balog4、balog8、¨¨¨、bnalog2、¨¨¨其中a、b都是大于零的常数，且a≠1①求证：数列{an}是等比数列②若数列{an}同时又是等差数列，求b26．（本小题9分）已知函数f(x)是定义在[2，+∞）上的减函数，求实数a的范围，使不等式f(a2-2)-f(2-3a)＞0成立27．附加题（本小题10分，计入总分）某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，要求买房户当年首付3万元，然后从第二年起连续10年每年定期付款8000元；另一种方案是一次性付清，优惠价是90000元。若一买房户有现金90000元，可用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5％，他该用哪种方案购房更合算，请说明理由。（参考数据：1.059≈1.551,1.0510≈1.628）密封线密封线内不得答题德州市中等职业学校数学竞赛试题参考答案一、选择题题号123456789101112131415答案CDADBACBACCACBB二、填空题16.(-2，-1)17[1，2）1821915202521（38，3]22(-1，0)∪(2，3）三、解答或证明22解：①根据已知条件得，x=3是方程x2-px-3=0和方程x2+2x+q=0的公共解。∴32-3p-3=0且32+2×3+q=0∴p=2，q=-15②∵A={xx2-px-3=0}={xx2-2x-3=0}={-1，3}B={xx2+2x+q=0}={xx2+2x-15=0}={-5，3}∴A∪B={-1，-5，3}23解①q=100+1.08x×10=100+100(8-x)=900-100x(6＜x≤8)②y=(x-6)(900-100x)=-100x2+1500x-5400(6＜x≤8)③对于函数y=-100x2+1500x-5400当x=)100(21500=7.5元时，ymax=(7.5-6)(900-100×7.5)=225元所以定价为7.5元时，所获利润最大，最大利润为225元。24①证明：根据已知条件an=bnalog2∴对于n∈N+都有nnaa1=bnbnaaloglog122=]loglog)1[(2bnbnaa=balog2(常数)∴数列{an}是等比数列②∵数列{an}既是等比数列又是等差数列，∴{an}是非零常数列，∴balog2≠0且balog2=balog4=2log)2(ba∴balog2=1∴logba=0∴b=125解：根据题意知a2-2≥2①（1）2-3a≥2②a2-2＜2-3a③由①得a2≥4∴a≤-2或a≥2由②得a≤34由③得a2+3a-4＜0∴-4＜a＜1∴不等式（1）的解集为{aa≤-2或a≥2}∩{aa≤34}∩{a-4a1}=(-4，2]因此，符合题设条件的a的范围是(-4，2]附加题解：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n年的结余数为an，∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05)……a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)=6×1.0510－0.8×105.1105.110=6×1.0510－16×(1.0510－1)=16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元)所以一次性付款合算