2009年考研数学二试题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数3sinxxfxx的可去间断点的个数为A1B2C3D无穷多个【答案】C【解析】由于3sinxxfxx,则当x取任何整数时,fx均无意义.故fx的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30xx的解1,2,30,1x.320032113211131limlim,sincos132limlim,sincos132limlim.sincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx故可去间断点为3个,即0,1.(2)当0x时,sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小,则A11,6abB11,6abC11,6abD11,6ab【答案】A【解析】22000()sinsinlimlimlim()ln(1)()xxxfxxaxxaxgxxbxxbx22002301cossinlimlim36sinlim1,66xxxaaxaaxbxbxaaxabbaxa洛洛36ab,故排除,BC.另外,201coslim3xaaxbx存在,蕴含了1cos0aax0x,故1.a排除D.所以本题选A.(3)设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy,则点0,0A不是,fxy的连续点B不是,fxy的极值点C是,fxy的极大值点D是,fxy的极小值点【答案】D【解析】因dzxdxydy可得,zzxyxy.2222221,0,1zzzzABCxxyyxy,又在0,0处,0,0zzxy,210ACB,故0,0为函数(,)zfxy的一个极小值点.(4)设函数,fxy连续,则222411,,yxydxfxydydyfxydxA2411,xdxfxydyB241,xxdxfxydyC2411,ydyfxydxD221,ydyfxydx【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdxfxydydyfxydx的积分区域为两部分：1(,)12,2Dxyxxy,2(,)12,4Dxyyyxy,将其写成一块(,)12,14Dxyyxy,故二重积分可以表示为2411(,)ydyfxydx,故答案为C.(5)若fx不变号,且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy,则函数fx在区间1,2内A有极值点,无零点B无极值点,有零点C有极值点,有零点D无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()fx是一个凸函数,即()0fx,且在点(1,1)处的曲率322||12(1())yy,而(1)1f,由此可得,(1)2f.在[1,2]上,()(1)10fxf,即()fx单调减少,没有极值点.对于(2)(1)()1(1,2)fff,(拉格朗日中值定理)(2)0f而(1)10f,由零点定理知,在[1,2]上,()fx有零点.故应选B.（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为：则函数0xFxftdt的图形为ABCD【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yfx的图形可见，其图像与x轴及y轴、0xx所围的图形的代数面积为所求函数()Fx，从而可得出几个方面的特征：①0,1x时，()0Fx，且单调递减。②1,2x时，()Fx单调递增。③2,3x时，()Fx为常函数。④1,0x时，()0Fx为线性函数，单调递增。⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D。（7）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为A**32OBAO.B**23OBAO.C**32OABO.D**23OABO.【答案】B【解析】根据CCCE若111,CCCCCC分块矩阵00AB的行列式22012360AABB（）即分块矩阵可逆11110000066000100BBAAABBBBAAA10023613002BBAA（8）设,AP均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TPAP，若1231223(,,),(,,)PQ，则TQAQ为A.210110002B.110120002C.200010002D.100020002【答案】A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001QE，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002TTTTQPEQAQPEAPEEPAPEEE二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为【答案】2yx【解析】221222ln(2)22tdyttttdtt2(1)1(1)1ttdxedt所以2dydx所以切线方程为2yx（10）已知+1kxedx,则k【答案】2【解析】001122limbkxkxkxbedxedxek因为极限存在所以0k210k2k（11）n1limesin0xnxdx【答案】0【解析】令sinsincosxxxnIenxdxenxnenxdx2sincosxxnenxnenxnI所以2cossin1xnnnxnxIeCn即11020cossinlimsinlim()1xxnnnnxnxenxdxen122cossinlim()110nnnnnenn（12）设()yyx是由方程xy1yex确定的隐函数，则2x=0dy=dx2【答案】3【解析】对方程xy1yex两边关于x求导有1yyxyye，得1yyyxe对1yyxyye再次求导可得22()0yyyxyyeye，得22()yyyyeyxe(*)当0x时，0y，010(0)1ye，代入(*)得20032(0)((0))(0)(21)3(0)yyeye（13）函数2xyx在区间01，上的最小值为【答案】2ee【解析】因为22ln2xyxx，令0y得驻点为1xe。又22222ln2xxyxxxx，得21120eyee，故1xe为2xyx的极小值点，此时2eye，又当10,xe时，0yx；1,1xe时，0yx，故y在10,e上递减，在1,1e上递增。而11y，002022lnlimlim11lim222ln000limlim1xxxxxxxxxxxxxyxeeee，所以2xyx在区间01，上的最小值为21eyee。(14)设，为3维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于200000000，则T=【答案】2【解析】因为T相似于200000000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T的特征值是2,0,0，而T是一个常数，是矩阵T的对角元素之和，则T2002。三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限401cosln(1tan)limsinxxxxx【解析】244001ln(1tan)1cosln(1tan)2limlimsinsinxxxxxxxxxx22201ln(1tan)lim2sinsinxxxxxx201ln(1tan)1lim2sin4xxxx（16）（本题满分10分）计算不定积分1ln(1)xdxx(0)x【解析】方法一：令1xtx得22212,1(1)tdtxdxtt2222222222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)1ln(1)()1ln(1)11111ln(1)11114(1)4(1)2(1)ln(1)111ln1412(1)1111ln(1)ln41ttdttdttttdttdtttttdtttttttCtttxxxxxxx原式1112(1)111ln(1)ln(1)(1).22CxxxxxxxxxCx方法二：11111ln(1)ln(1)(1)xxxxdxxxdxxxxx11ln(1)121xxxdxxx111ln(1)221xxxxdxxx22221122111ln11ln1xudxuxuduuduuxuuuuCxxxxC分部即1111ln(1)ln(1)1ln122xxdxxxxxxxCxx111ln(1)ln1122xxxxxxxCx（17）（本题满分10分）设,,zfxyxyxy，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zxy【解析】123123zffyfxzffxfy1231232111213212223331323331122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()zzdzdxdyxyffyfdxffxfdyzfffxfffxfyfffxxyfffxyfxyfxyf（18）（本题满分10分）设非负函数yyx0x满足微分方程20xyy，当曲线yyx过原点时，其与直线1x及0y围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。【解析】微分方程20xyy得其通解212122,yCxCxC