傅里叶变换的对称性证明

一．序列的傅里叶变换（DTFT）的对称性已知：[()]()jDTFTxnXe**[()]()jDTFTxnXe**[()]()jDTFTxnXe(由Z变换的性质可推出)共轭对称序列：*eexnxn实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列共轭反对称序列:*ooxnxn实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和：**1212eeooxnxnxnxnxnxnxnxnxn**1212jjjejjjeojjjoXeXeXeXeXeXeXeXeXe求证：[Re(())]()[Im(())]()jejoDTFTxnXeDTFTjxnXeor[()]Re(())[()]Im(())jejoIDTFTXexnIDTFTXejxn[()]Re(())[()]Im(())jejoDTFTxnXeDTFTxnjXeor[Re(())]()[Im(())]()jejoIDTFTXexnIDTFTjXexn证明：**121()()212Re(())2Re(())jjjeXeXeXeDTFTxnxnDTFTxnDTFTxn**121()()212Im(())2Im(())jjjoXeXeXeDTFTxnxnDTFTjxnDTFTjxn**121212Re2ReejjjjxnxnxnIDTFTXeXeIDTFTXeIDTFTXe**121212Im2ImojjjjxnxnxnIDTFTXeXeIDTFTjXeIDTFTjXe对实数序列xnRe[]Im[]0xnxnxn则：[Re(())]()()[Im(())]()0jjejoDTFTxnXeXeDTFTjxnXe即：实数序列的傅里叶变换具有共轭对称性（是共轭对称序列）*1212exnxnxnxnxn共轭对称序列变成偶对称序列*1212oxnxnxnxnxn共轭反对称序列变成奇对称序列二．离散傅里叶变换（DFT）的对称性已知：*epNNNxnxnxNnRn*opNNNxnxnxNnRn*1Re2xnxnxn*1Im2jxnxnxn*11**00*1*0*NNknknNNNNnnNNknNNNNnNNDFTxnxnWRkxnWRkXkRkxnWRkXNkRk有时习惯上*NNXNkRk可写成*XNk，但应该指出，当0k时，*XNk可得到*XN，但由于DFT的取值区间为01kN，已超出该区间，因而应当理解为**0XNX。1**0**1001*1*0NknNNNNNnNknknNNNNnnNNknNNnDFTxnRnxnRnWxnWxnWxnWXk证明：复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量：***1Re21212NNNNNepDFTxnDFTxnDFTxnXkXNkRkXkXNkRkXk复序列虚部乘以j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量：***1Im21212NNNNNopDFTjxnDFTxnDFTxnXkXNkRkXkXNkRkXk复序列的圆周共轭对称分量的DFT等于序列DFT的实部：**121*212ReepNNNNNDFTxnDFTxnxNnRnDFTxnDFTxnRnXkXkXkor***1Re21212NNNNNepIDFTXkIDFTXkIDFTXkxnxnRNxnxNnRNxn复序列的圆周共轭反对称分量的DFT等于序列DFT的虚部乘以j：**121*212ImopNNNNNDFTxnDFTxnxNnRnDFTxnDFTxnRnXkXkjXkor***1Im21212NNNNNopIDFTjXkIDFTXkIDFTXkxnxnRNxnxNnRNxn*11**00*1*0*NNknknNNNNnnNNknNNNNnNNDFTxnxnWRkxnWRkXkRkxnWRkXNkRk根据频域抽样理论，对信号的连续频谱抽样，必然伴随着信号在时域的周期性延拓。为了使频域的样本能完全代表时域的信号，则必须要求信号是时限的，而且在周期延拓时不发生重叠。如果信号()xn是一个长度为M的有限长序列，当我们对它的频谱在一个周期内等间隔抽样N点时，伴随着()xn在时域将以N为周期延拓。为了避免信号的重叠，显然必须有NM,也就是说至少要在一个周期内抽样M点。如果()xn是一个无限长序列（非时限），则无论对其频谱在一个周期内怎样抽样，都将不可避免地发生时域内信号的重叠，因而也不可能从周期延拓的信号中恢复出原信号。这就是为什么DFT只对有限长序列而言的本质原因。