专题2.2-函数的单调性与最值---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第二篇函数及其性质专题2.02函数的单调性与最值【考试要求】1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值。2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．【知识梳理】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【微点提醒】1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).22.函数y＝f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.3.“对勾函数”y＝x＋ax(a0)的增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()【教材衍化】2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－xB.y＝x2－xC.y＝lnx－xD.y＝ex3.(必修1P31例4改编)函数y＝2x－1在区间[2，3]上的最大值是________.3【真题体验】4.(2019·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f(x)在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数5.(2019·青岛调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A.f(m)f(1)B.f(m)f(1)C.f(m)≥f(1)D.f(m)≤f(1)6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)【考点聚焦】考点一确定函数的单调性(区间)【例1】(1)(2019·石家庄质检)若函数y＝log12(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为()A.(－∞，－4)∪[2，＋∞)B.(－4，4]C.[－4，4)D.[－4，4]4(2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在x∈[1，2]上的单调性.【规律方法】1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性.考点二求函数的最值【例2】(1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()A.12B.14C.2D.4(2)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x1，则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________.【规律方法】求函数最值的四种常用方法5(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对【解析】式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练2】(1)(2019·烟台调研)函数f(x)＝x－1x2在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是()A.3116B.2C.94D.114(2)(2019·湖南怀化质检)定义max{a，b，c，}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是()A.2B.3C.4D.6考点三函数单调性的应用角度1利用单调性比较大小【例3－1】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A.cabB.cbaC.acbD.bac角度2求解函数不等式6【例3－2】(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0.则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)角度3求参数的值或取值范围【例3－3】已知f(x)＝（2－a）x＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20成立，那么a的取值范围是________.【规律方法】1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.【训练3】(1)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a＝－flog215，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.cab(2)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是()A.(－1，0)∪(0，1)B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1)D.(0，1]7【反思与感悟】1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.【易错防范】1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1x.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f(x)＝－x＋1x在－2，－13上的最大值是()A.32B.－83C.－2D.22.(2019·广州模拟)下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是()A.f(x)＝2xB.f(x)＝|x－1|C.f(x)＝1x－xD.f(x)＝ln(x＋1)83.(2019·济宁一模)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a0且a≠1)，若f(0)0，则此函数的单调递增区间是()A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1)D.(－3，－1]4.函数y＝2－xx＋1，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是()A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2)5.(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝()A.2B.4C.6D.8二、填空题6.(2019·北京杨镇一中月考)已知f(x)和g(x)在定义域内均为增函数，但f(x)·g(x)不一定是增函数，请写出一对这样的函数：例如当f(x)＝________，且g(x)＝________时，f(x)·g(x)不是增函数.7.设函数f(x)＝ax＋1x＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________.98.(一题多解)(2019·天津河东区模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，ab.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.三、解答题9.已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0).(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在12，2上的值域是12，2，求a的值.10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0a1).(1)求方程f(x)＝0的解.(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]1012.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f（x）x在区间(1，＋∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数13.已知f(x)＝x2－4x＋3，x≤0，－x2－2x＋3，x0，不等式f(x＋a)f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.14.已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的范围.【新高考创新预测】15.(多填题)设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x＋ax，x1，若f[f(1)]＝4a，则实数a＝________，函数f(x)的单调增区间为________.