江苏大学理论力学复习

理论力学复习平面刚体系统的平衡问题基本要求尽量做到一个方程只含有一个未知量；基本思路先整体，后局部-----在物系中找出约束力可直接求解的“构件”。§2-5物体系的平衡·静定和超静定问题充分利用力矩方程的优势（1）矩心的选取；（2）当约束处于同一水平面时，应首先考虑力矩方程；FAxFAyFDxFDyFABCD（3）当约束处于同一竖直面时，也应首先考虑力矩方程。四.常见几种载荷及其合力的计算结论：1、合力的大小等于荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图形的形心（重心）。1、均布荷载qlQ2、三角形荷载qlQ21l/2l/2qQQ23l3lqFAyFAxFFBFEyFExFD由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。它的支承和受力如图3-13a所示。已知q=10kN/m，M=40kN⋅m，不计梁的自重。求支座A，B，D的约束力和铰链C受力。例2-17FAxFAyFBFD1.力对轴的矩2.力对点之的矩3.力对点的矩与力对轴的矩的关系空间问题1.力对轴的矩()()zOxyxyMMFhFF通过投影对点的矩来定义的xyzOFhBAabFxy()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyFFFF对称性循环性()()()()OxyzMMMMFFiFjFk2.力对点的矩与力对轴的矩的关系x’y重心（形心）的计算求图示均质板重心的位置。解一：（分割法）建立如图坐标：aaaaaaAAxAxAxC652212221221132aaaaaaAAyAyAyC65223221221221132解二：（负面积法）aaaaaaaAAxAxAxC65222322212211)(4)(4aaaaaaaAAyAyAyC65222322212211)(4)(4xyaaaaC1C2OxaaaaC2C1Oy含摩擦时物体的平衡问题分析思路与没有摩擦的情况大致相同，但要注意对摩擦力的分析，特别是摩擦力的大小和方向。1.临界平衡状态分析（a）应用Fmax=fsFN作为补充方程,（b）Fmax的方向不能任意假定，必须是真实的方向（此时，Fmax和FN相互关联）。2.非临界平衡状态分析（a）应用0≤FsfsFN作为补充方程，（b）Fs的方向可以任意假定（此时，Fs和FN相互独立）。例：物体重G=10N，放在粗糙的水平面上，静摩擦系数fs=0.3。今在物体上施加力F=4N，，试求物体受到的摩擦力。o30F1.假定平衡Fs2.将Fs和最大静摩擦力Fmax=fsFN进行比较思路：(a)若Fs≤Fmax，则Fs就是物体受到的摩擦力；(b)若FsFmax，则物体无法平衡，应利用动摩擦力公式计算物体受到的摩擦力；FN1Fs1FN2P2点的合成运动7.1相对运动·牵连运动·绝对运动在分析合成运动时，必须选定两个参考系，即定系和动系，同时还要区分三种运动，即绝对运动、相对运动和牵连运动：1.绝对运动---动点相对于定系的运动；2.相对运动---动点相对于动系的运动；3.牵连运动---动系相对于定系的运动。说明：1.绝对运动和相对运动指的是点的运动，2.牵连运动指的是刚体的运动例如，直线运动、圆周运动和曲线运动例如，平动、定轴转动等绝对速度·相对速度·牵连速度绝对速度、加速度、轨迹动点相对于定系的速度、加速度和轨迹，分别称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。相对速度、加速度、轨迹动点相对于动系的速度、加速度和轨迹，分别称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹。牵连点：动系上与动点相重合的那一点。注意：它是动系上的一点绝对速度·相对速度·牵连速度牵连速度、加速度动系正是通过牵连点对动点起着“牵连、连带”作用。牵连点的速度和加速度分别称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连加速度(用ae表示)(1)选取动点和动系的基本原则动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。(2)动点选取的基本方法若系统存在持续接触点，那么通常情况下，选取持续接触点为动点。若系统不存在持续接触点，则按原则（1）处理。点的速度合成定理aerVVVA点(AB杆)OC杆沿AB的直线运动沿OC的直线运动绕O轴的定轴转动动点：动系：绝对运动:相对运动:牵连运动:动点：动系：绝对运动:相对运动:牵连运动:C点(偏心轮)顶杆AB绕O点的圆周运动直线运动竖直方向的平动点的加速度合成定理1.当牵连运动为平移时，aeraaaaerCaaaa2.当牵连运动为转动时，工程中常见的平面机构，we和vr往往是垂直的，也就是说，动系角速度的作用面和相对速度共面，此时：科氏加速度vrweaC的大小---aC=2ωevraC的方向---将vr按动系转动的方向旋转90°aC例2图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径R＝OA＝10cm，已知曲柄绕轴O以匀速n＝120rpm转动，求当j＝30°时，滑道BC的速度和加速度。njROO1ABCDjve4rad/s30nw125.6cm/s125.6cm/seraBCevvvOAvvw解：动点：动系：绝对运动:相对运动:牵连运动:A点（曲柄OA）滑道BC匀速圆周运动圆周运动直线平动aervvv大小√？？方向√√√vavr速度分析:E由三角几何关系易知OO1ABCDjBC的加速度分析：120°30°hAartaearnaan222r1125.61579cm/s10nrvaOA222(4)101579cm/snaaOAwnntaerraaaa将所有加速度矢向h轴投影nare22cos6015790.51579cos303/22740cm/s27.4m/snBCaaaanaer:cos60cos30naaahartarnaanae大小√？√？方向√√√√120°30°hA绝对运动：匀速圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：直线平动例3偏心凸轮的偏心距OC＝e、半径为，以匀角速度w绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度和加速度。3ReABOCwqevOAw323tan33aeevvOAwqw243cos332erveevwwq解：aervvv方向速度分析:运动分析:大小vrvave动点：动系：绝对运动:相对运动:牵连运动:A点（AB杆）定轴转动圆周运动直线运动凸轮？√√√√？由三角几何关系可知科氏加速度的大小和方向？hABOCwq加速度分析arnartaCaaaen222neaAOeww221633nrrveaRw243832233CreeavcoscosnnaerCaaaaqq2222231682(2)293333aeeaeentnaerrcaaaaa将所有加速度矢向η轴投影：绝对运动:直线运动，牵连运动:定轴转动（匀速）相对运动:圆周运动。大小方向√√？√√√√√？√vr求AB杆的加速度平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。结论MOMOvvv其中，MOMOwv求平面图形内各点速度的基点法(1)平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（只滚不滑），图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。vC求平面图形内各点速度的瞬心法(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。wOvAABvBCwAB(3)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无穷远处。此时，图形上各点速度均相同，称为瞬时平动。wOvAABvB用基点法求平面图形内各点的加速度tnBABABAaaaa,tBAaAB其中，2nBAaABw平面运动加速度合成的基点法：vAvBDvCvA动力学动量定理1.动量定理2.质心运动定理3.质心运动守恒定理Cmpv质点系（或刚体）的动量等于质点系（或刚体）的质量与质心速度的乘积。质点系动量的计算质量中心（质心）iiiiCimmmmrrr定义质点系质量中心(质心)C的矢径iiiiCiiiiiCiiiiiCimxmxxmmmymyymmmzmzzmm质点系动量定理（投影式）(e)(e)(e)ddddddyxzxyzpppFFFttt该定理一般用来求约束力，并且通常以整体作为研究对象。(e)ddddmttpvF质点系动量定理（矢量式）2质心运动定理(e)CmaF直角坐标上投影式(e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF自然轴上投影式(e)t(e)n(e)b0tCnCmaFmaFF3质心运动守恒定理(e)CmaF(e)CxxmaF(e)0F(e)0xF若则质心运动守恒；则质心在x轴方向运动守恒。若xyabxABy动力学动量矩定理1.动量矩的计算2.动量矩定理3.定轴转动的转动微分方程4.平面运动微分方程质点系（刚体）动量矩的计算（1）刚体平移（2）刚体绕定轴转动wzzJLrwOAvm（3）刚体平面运动PACωvCmROCCCLrmvL平面运动刚体对任一点O的动量矩，等于随质心平移时对O点的动量距加上绕质心转动的动量距。OLrmv(e)1d()dnOOiitLMF质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于O点矩的矢量和（外力对点O的主距）。(e)(e)(e)d()dd()dd()dxxiyyizziLMtLMtLMtFFF在应用时，常取直角坐标投影式：动量矩和力矩的符号可以任意设正，但两者必须要统一，不能混合假定。一般用来求和转动问题相关的运动，如角加速度、加速度等。FyFxmAgmBgMgvAvB§11-3刚体绕定轴的转动微分方程12,,,nFFF主动力:约束力:21NN,FFd()dzziJMFtw即:()zzJMF或22d()dzzJMFtj或转动微分方程eee()CxxCyyCCmaFmaFJMFetene()CtCnCCmaFmaFJMF刚体平面运动微分方程的投影式说明（1）C点必须是质心，否则结果一般不成立；（2）通常要配合补充方程联合使用；ee()CCCmaFJMF（3）补充方程：一般来自于质心加速度和角加速度之间的关系，常见的有ac=αR和act=αR等，以及摩擦力与法向约束力之间的关系。刚体的平面运动微分方程1)重力的功1212()Wmgzz1常见力的功动能定理M1M2Mmgz1z2Oxyz单个质点1212()CCWmgzz质点系2)弹性力的功A1A2r2r1l0Or0rAdFA0dr常见力的功)(21222112ddkW弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量（变形量的平方差）有关，与力的作用点A的轨迹形状无关。3)定轴转动刚体上作用力的功常见力的功ttδddddzWFsFRMjjFr=FtFrFbFnOzO1Aq力F在刚体从角j1转到j2所作的功为2112dzWMjjjMz可视为作用在刚体上的力偶距静摩擦力不作功，滑动摩擦力作负功。当轮子在固定面上纯滚动时，FSF摩擦力作功摩擦力不作功。FCFSFCFS(1)平动刚体的动能2质点系动能的计算=212CTmv(2)定轴转动刚体的动能212zTJw(3)平面运动刚体的动能212PTJw222121wCCJmvT(a)对每瞬时来说，刚体的平面运动可以视为绕速度瞬心的定轴转动。其中，p是刚体的速度瞬心(b)刚体的平面运动由随质心的平移与绕质心的转动两部分组成。CvC243CmvT牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:均质圆环在地面上作纯滚动时的