函数的奇偶性知识点总结及练习

12.4函数的奇偶性学习目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．重点难点：函数奇偶性和周期性的应用一、知识要点1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．②函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．（2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数．3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．2二、例题精讲题型1：函数奇偶性的判定1．判断下列函数的奇偶性：①xxxxf11)1()(,②29)(xxf,③22(0)()(0)xxxfxxxx④2211)(xxxf变式：设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）．必为奇函数的有___（要求填写正确答案的序号）题型2：函数奇偶性的证明1．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证：f(x)是奇函数．3题型3：函数奇偶性的应用1．设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)f(m)，求实数m的取值范围．变式1：已知函数()fx是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断()fx在(,0)上是增函数还是减函数变式2：函数()yfx是R上的偶函数，且在(,0]上是增函数，若()(2)faf,则实数a的取值范围是三、巩固练习1．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是．①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x·f(x);④y=f(x)+x．2．设函数若函数2()(2)(1)3fxkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是．3．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在x0上f(x)的表达式为．4．设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常数)且(7)7f,则f（7）=．5．若函数()2fxxb的图象关于原点对称，则实数b应满足的条件是．6．已知函数3()1fxaxbx，常数a、bR，且(4)0f，则(4)f．7．()yfx在,0内为减函数，又()fx为偶函数，则(3)f与(2.5)f的大小关系为．48．已知函数2()fxaxbxc是定义在aa1,2上的偶函数，则a，________b．9．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx，则(1)f．10．判断下列函数的奇偶性①xxy13；②xxy2112；③xxy4；11．已知函数()yfx是定义在实数集R上的偶函数，当0x时，2()23fxxx．（1）写出函数()yfx的表达式；（2）作出()yfx的图象；（3）指出函数的单调区间及单调性．（4）求函数的最值．