第2章、无限时期与世代交替模型

第2章、无限时期模型与世代交替模型InfiniteHorizonandOverlapping-GenerationsModels注意：两个模型储蓄内生化但不是内生增长模型，后者指技术进步内生化。A部分:Ramsey-Cass-Koopmans模型2.1假设1)厂商生产函数:Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)).关于F的假设与第一章相同。要素市场和产出市场都是竞争性的。厂商利润最大化。家庭拥有厂商（企业）。2)家庭家庭效用最大化0()max(())ttLteuCtdtHρ∞−=∫此处，C(t):家庭中每个成员的消费,u(.):瞬时效用函数,L(t):经济的总人口,dL(t)/dt=nL(t)H:家庭的数量,u(C(t))L(t)/H:家庭的总瞬时效用,ρ:贴现率K(0):初始资本瞬时效用函数为：【后面将定义，而β的含义是确保总效用收敛，故为正的假设是合理的】常数相对风险厌恶效用函数（Constant-relative-risk-aversion(CRRA)utilityfunction）：相对风险厌恶系数为-Cu’’(C)/u’(C)=θRRA系数:θ跨期替代弹性（Elasticityofsubstitution）:1/θ————————————补充材料：严格定义：Constantinides（1990）和Weil（1989）按照投资者的值函数来定义投资者的RRA系数，RRA≡−，将RRA系数进一步表示为投资者的值函数关于财富的弹性，得到：RRA//WWdJJdWW=−。因此，投资者的RRA系数的含义是投资者的财富变动1个百分点，投资者的边际效用变动多少个百分点。RRA系数刻画了投资者关于风险的态度。投资者的IES系数则定义为当股票的溢价rµ−保持不变时，经济中利率水平增加1个单位，投资者的最优消费增长率增加的幅度，即如下偏微分：IES[(/)/]|rEdCCdtrµ−∂≡∂当投资者的效用函数为CRRA时，投资者的RRA系数和IES系数互为倒数：RRA×IES＝1。当投资者的效用函数不再是CRRA时，以上关系式就不再成立。相对风险规避系数的含义：假设某个投资者获得一笔奖金，并且必须在两种支付方法之间选择一种支付方法。第一种支付方法是确定的：投资者得到数量确定的Cρ−。第二种支付方法是不确定的：投资者以50％的概率得到较多的Cy+，以50％的概率得到较少的Cy−。那么，多大的ρ可以使得投资者对于这两种支付方式是无差异的？投资者对于两种支付方式是无差异的，因而ρ的选择使得如下方程成立，[(,)]0.5()0.5()uCCyuCyuCyρ−=++−其中(,)Cyρ表示ρ是C和y的函数，)(⋅u是严格增加的、严格凹的效用函数。将[(,)]uCCyρ−在C点处泰勒展开，得到[(,)]()'()uCCyuCuCρρ−≈−将()uCy+在C点处泰勒展开，得到2()()'()0.5''()uCyuCyuCyuC+≈++将()uCy−在C点处泰勒展开，得到2()()'()0.5''()uCyuCyuCyuC−≈−+合并，得到21''()(,)2'()yCuCCyCuCρ≈−因此，只要投资者是风险规避型的投资者，即0''u，那么(,)Cyρ就会大于0。也就是说，不确定性将会降低投资者的效用水平，风险规避型的投资者需要一定数量的补偿。下面给出CRRA效用函数中的RRA系数的含义。将CRRA型效用函数代入方程（8.5）右边，得到2yyCρα≈对于给定的C和y，ρ越大，α就越大。而更大的ρ意味着投资者在面临同样的不确定性时，宁愿选择更小的确定性支付数量。参数α越大，投资者就惧怕风险。因此，参数α确实刻画了投资者惧怕风险的程度。通过设定假定的情景（给定C和y），可以调查投资者的ρ是多少。然后就可以估计投资者的相对风险规避系数。大量的统计调查表明一般的美国投资者的α是小于2的。————————————————2.2家庭与厂商的行为1)厂商假设资本没有折旧。厂商最优使用资本和劳动以最大化利润π(K,L)=F(K,AL)−rK−wALw是单位有效劳动的实际工资。此规划问题的关于资本的一阶条件为FK=r=f’(k)关于有效劳动AL的一阶条件为FAL=w=f(k)–kf’(k)Hint:Y=F=ALf(K/AL)因此，人均工资为W(t)=A(t)w(t)2)家庭的预算约束家庭将r和w视为给定。定义0()()tsRtrsds==∫。问题：0时刻投资一单位产出，在t时获得的回报为eR(t)。[why?]解答：将[0,t]分为n个∆t。0时投资1单位产出t时回报为X=(1+r1∆t)…(1+rn∆t)取对数，lnX=∑ln(1+ri∆t)=∑ri∆t0=()trdττ∫。因此，0()trdXeττ∫=家庭的预算约束方程为()()00()(0)()()()RtRtttLtKLteCtdteWtdtHHH∞−∞−==∫≤+∫【家庭的预算约束方程：左边是生命期内消费的总现值；右边是初始财富+工资性收入的总现值，右边本来还有一项——拥有企业所获得的利润，但是产品市场竞争性假设和生产函数规模报酬不变假设，导致利润等于0】变形得到()0(0)()[()()]0RttKLteWtCtdtHH∞−=+∫−≥可以记为()0(0)()lim[()()]0sRttsKLteWtCtdtHH−=→∞+∫−≥家庭在s时刻的资本持有数量为()()()0()(0)()[()()]RssRsRttKsKLteeWtCtdtHHH−==+∫−因此，家庭的预算约束方程可以记为()()lim0RssKseH−→∞≥含义：极限中家庭所持有资产的现值不能为负。此为非No-Ponzi-gameCondition。3)家庭的最大化问题定义()()/()ctCtAt=，那么家庭的效用函数可以记为由于L(t)=L(0)ent，所以此处，下面把预算约束方程也改写为单位有效劳动的形式。此处使用了可以将预算约束的No-Ponzi-gameCondition改写为：4)家庭行为（家庭的规划问题以及离散化求解方法）家庭的效用最大化问题可以表示为如下规划问题：10()max1ttctBedtθβθ−∞−=∫−s.t.()()()()00()(0)()RtngtRtngtttectedtkewtedt∞−+∞−+==∫≤+∫如何求解?此规划问题的目标函数和预算约束方程都是连续时间表达形式。我们采用离散化目标函数和预算约束方程的求解方法。因此，得到如下新的规划问题1()max1itiiictBetθβθ−−∑∆−s.t.()()()()()(0)()iiiiRtngtRtngtiiiiiiectetkewtet−+−+∑∆≤+∑∆从黎曼可积的角度来看，上述新规划问题等价于老规划问题。而新规划问题是典型的离散时间规划问题，因此可以采用拉格朗日方法进行求解。构造拉格朗日方程为1()()()()()()max1(()(0)())iiiiiitiiictRtngtRtngtiiiiiictBetectetkewtetθβθλ−−−+−+∑∆+−−∑∆++∑∆其中λ为预算约束方程所对应的拉格朗日乘子。拉格朗日函数关于消费()ict的一阶条件为()()()iiitRtngtiiiBectteetβθλ−−+−∆=∆消掉时间微分，得到()()()iiitRtngtiBecteeβθλ−−+−=考虑到时间的任意性，得到()()()tRtngtBecteeβθλ−−−+=变形得到()()()tRtngtcteBθβλ−−++=方程两边对时间求导，得到1()()()()(())tRtngtctctertngBθβλθβ−−−++−=−++上面两个方程相除，得到如下连续时间形式的欧拉方程（Eulerequation）()()()()ctrtngrtgctβρθθθ−−−−−==第二个等号使用了定义=还可以计算人均消费C的增长率【注意：以上公式可以用来定义跨期替代弹性。】还可以使用扰动法求得上述欧拉方程。家庭减少c∆所损失的效用为()tBectcβθ−−∆。家庭在tt+∆时刻的消费可以增加[()]rtngtec−−∆∆，并且[()/()]()()ctcttcttcte•∆+∆≈。因此，可以得到()()[()/()][()]()()tttctcttrtngtBectcBecteecθβθβ−−−−+∆∆−−∆∆=∆化简、变形得到()()()()ctttrtngtctβθ∆+∆=−−∆消去时间微分并变形就得到上述欧拉方程。2.3经济的动力系统1)c的动力系统将()'(())rtfkt=代入到欧拉方程，得到消费的动力系统为()'(())()ctfktgctρθθ−−=注意：如何理解k较小时，消费增长率增加？答：k较小，r就越大，从家庭欧拉方程的直观含义来看，资本的跨期期望收益就越高，因此消费增加就越高。2)k的动力系统而资本的动态方程为()(())()()()ktfktctngkt=−−+资本不变时，有c=f(k)-(n+g)k,c(0)=f(0)-0=0,andd2c/dk20.3)相图问题：为什么有k*kGR?稳态资本为'(())=0fktgρθθ−−因此，'(*)=+fkgρθ而黄金规则水平的资本由如下方式得到maxc=f(k)-(n+g)k得到f’(kGR)=n+g我们已经假设了β=，所以++gngρθ而f’’0，因此，k*kGR4)c的初始值()('(())(())()()().)()ctktfktgfktctctngktρθθ−−==−−+，假设k(0)k*。A点：c(0)太高，0,0ck。B点：c(0)处在0k=上，所以0c，而k初始为0，经济体先向上移动，然后0,0ck。C点：c(0)过高，所以k虽然为正但是数值较小，而0c，因此，经济体初始向右上方向移动但k右移幅度有限而无法到达E点，当同0k=轨迹相交后，0,0ck。D点：c(0)过低。,ck初始均为正。由于c与c成比例，当c较小时，c也较小，c太低因而上升幅度有限，当与0c=相交后，0,0ck，经济向右下移动。F点：只有这一点才能到达均衡点E特别要注意的是，以上这些轨迹都满足两个一阶条件，但是我们还没有施加预算约束和资本不为负约束。如果经济体开始于高于F点，k最终为负，因此可以排除这种情形。如果经济体开始于低于F点，如D点。最终k会超过kGR，那么过了此时，利率r=f’(k)n+g，因此e-R(s)e(n+g)s随s上升，因而e-R(s)e(n+g)sk(s)发散。按照预算约束的含义，这说明：相对于家庭的终身消费的贴现值，其终身收入的贴现值是无穷大的，因此，在每一个时点，家庭可以增加消费从而获得更高的效用，这意味着家庭之前没有最大化其效用。因此，这不是均衡路径。如果经济体开始于F点。k收敛于k*，而r收敛于'(*)fkgρθ=+，因此，()()()()()((1))ngsngsgsngsRsrsngsseeeeeeeρθρθβ++−+++−−−−−−−====，其中(1)0ngβρθ=−−−，()()ngsRsee+−以β的速度下降，为0。因此，由F点开始的路径是唯一可行的路径。5）鞍点路径鞍点路径：对于k的任何初始值，存在一个唯一的c的初始值。2.4福利福利经济学第一定理：如果市场是竞争性的、完全的，并且不存在外部性（以及如果行为者的人数是有限的），那么分散化的均衡是帕雷图最优的，也即不可能在不使某些人情境况变坏的前提下使某些人的境况变好。拉姆齐模型满足福利经济学第一定理的条件，因此均衡必定是帕雷图最优的。下面用中央计划者的规划问题来说明这一点。将会发现中央计划者的规划问题的最优解与分散的竞争性最优解，即拉姆齐模型的最优解，是相同的。中央计划者的目标是最大化家庭的福利水平，10()max1ttctBedtθβθ−∞−=∫−s.t.()(())()()()k