将军饮马与二次函数题型

第1页（共13页）将军饮马与二次函数结合问题一．解答题（共4小题）1．（2013•宝应县校级一模）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2008•荔湾区一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求b、c的值；（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标；（3）设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2012•昌平区模拟）如图，已知抛物线经过点B（﹣2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．4．（2015秋•怀集县期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．第2页（共13页）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．第3页（共13页）2016年09月14日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共4小题）1．（2013•宝应县校级一模）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．【解答】解（1）把A（1，0）、B（﹣3，0）代入抛物线解析式可得：，解得：故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）存在．由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，第4页（共13页）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（﹣3，0）、C（0，3）代入得：，解得：，则直线BC的解析式为y=x+3，令QX=﹣1得Qy=2，故点Q的坐标为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．2．（2008•荔湾区一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求b、c的值；（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标；（3）设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），∴，解之，得，∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，y），由题意，得S△ABC=×4×|y|=8，∴|y|=4，∴y=±4，当y=4时，x2﹣2x﹣3=4，∴x1=1+，x2=1﹣，当y=﹣4时，x2﹣2x﹣3=﹣4，∴x=1，第5页（共13页）∴当P点的坐标分别为、、（1，﹣4）时，S△PAB=8；（3）在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．∵AC长为定值，∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．∵点A关于对称轴x=1的对称点是B（3，0），∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交点C的坐标为（0，﹣3），设直线BC的解析式为y=kx﹣3．∵直线BC过点B（3，0），∴3k﹣3=0，∴k=1．∴直线BC的解析式为y=x﹣3，∴当x=1时，y=﹣2．∴点Q的坐标为（1，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．本题有一定难度，需要考虑仔细，否则漏解．3．（2012•昌平区模拟）如图，已知抛物线经过点B（﹣2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．第6页（共13页）（2）可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标．（3）本题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置．可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标．【解答】解：（1）由题意知：A（4，0）；设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），已知抛物线过B（﹣2，3）；则有：3=ax（﹣2）×（﹣2﹣4），a=∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x；（2）过点B作BM⊥MC，∵B点坐标为：（﹣2，3），C点坐标为：（2，0），∴MC=4，BM=3，BC==5，∴|CE|=5，∴E1（2，5），E2（2，﹣5）；（3）存在．①当E1（2，5）时，G1（0，4），设点B关于直线x=2的对称点为D，其坐标为（6，3）直线DG1的解析式为：y=﹣x+4，∴P1（2，）②当E2（2，﹣5）时，G2（0，﹣1），直线DG2的解析式为：y=x﹣1∴P2（2，）综合①、②存在这样的点P，使得△PBG的周长最小，且点P的坐标为（2，）或（2，）．第7页（共13页）【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，（3）中能正确找出P点位置是解题的关键．4．（2015秋•怀集县期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式为y=a（x﹣1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+3；（2）存在．第8页（共13页）因为A（1，0）、B（4，0），所以抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，所以此时四边形PAOC的周长最小，因为BC==5，所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．将军饮马模型及其变形一．解答题（共2小题）1．（2015•上城区一模）设抛物线y=（x+1）（x﹣2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）已知点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标；（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值．第9页（共13页）2．（2015•贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）第10页（共13页）2016年05月18日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共2小题）1．（2015•上城区一模）设抛物线y=（x+1）（x﹣2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）已知点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标；（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）令x=0，求出与y轴的坐标；令y=0，求出与x轴的坐标；（2）分三种情况讨论：①当AB为底时，若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时，A为顶点时，③当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可．（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答．【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣；当y=0时，x=﹣1或x=2；则A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0）；（2）如图，Rt△ABO中，OA=1，OB=，∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时，若点D在AB上方，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D1（0，﹣），若点D在AB下方，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D2（﹣1，﹣），②当AB为腰时，A为顶点时，∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，∴点D在y轴或x轴上，若D在y轴上，得D3（0，），若D在x轴上，得D4（﹣3，0）；③当AB为腰时，A为顶点时，若点D在第三象限，∵∠DBO=150°，BD=2，得D5（﹣1，﹣2）；若点D在第四象限时，∵DB∥x轴，BD=2，得D6（2，﹣），第11页（共13页）∴符合要求的点D的坐标为（0，﹣），（﹣1，﹣），（0，），（﹣3，0），（﹣1，﹣2），（2，﹣）；（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，把点B向上平移个单位后得到B1（0，﹣），∵BB1∥PQ，且BB1=