高数(上)习题及答案(极限)

1复习题（一）一、定义域（1）函数的定义域()2lg31−+−=xxy（2）函数的定义域1412++−=xxy（3）函数的定义域为[0，1]，则定义域为()xf()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=4141xfxfxg二、求极限（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→xxxxx1sin2sin3lim00312limsinsin22xxxxx→⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠00312limlimsinsin22xxxxxx→→=+003lim2sin2lim2xxxx→→=32=()lim0mmnnxaxaaxa→−≠−11limmnxamxnx−−→=limmnxamxn−→=mnman−=xxx⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→21lim222lim1xxx→∞⎡⎤⎛⎞⎢⎥=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦2222lim1xxx→∞⎡⎤⎛⎞⎢⎥=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦2e=xxxlnlim∞→1lim0xx→∞==4586lim224+−+−→xxxxx42lim1xxx→−=−23=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→xxxxxtan2sinlim000sin2n1lim2lim2cosxxxsixxxx→→=⋅−⋅000sin2n12limlimlim2cosxxxxsixxxx→→→=⋅−⋅1==211lim20−++→xxx()20lim11xx+→=++1sinlim0−→xxex0slim1xxcoxe→==；exxex−−→1lnlim11limxexe→==；()11lim22−−+∞→xxx222lim011xxx→∞==++−；xxx1sinlim∞→1sinlim11xxx→∞==xxx211lim⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞→221lim1xxex−−−→∞⎡⎤⎛⎞=−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦xxx3cos5coslim2π→25sin5lim3sin3xxxπ→=53=−3022sinlimln0sinlimxxxxxxxex+→+→⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20cossinlim2sinxxxxxxxe+→−⋅=0sin2lim21xxxxe+→−==()11111lnlimlimln1ln1xxxxxxxx→→−−⎛⎞−=⎜⎟−⋅−⎝⎠111lim1lnxxxxx→−=−+11lim1lnxxxxx→−=−+11lim2lnxx→=+12=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→111lim0xxex()01lim1xxxexxe→−−=−01lim1xxxxeexe→−=−+0lim2xxxxeexe→=+01lim2xx→=+12=1131232limlim12112xxxxxxxx++→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎜⎟+⎝⎠411312lim112xxxxx++→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠2323122331122lim111122xxxxxxx→∞⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎛⎞⎛⎞++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦e=解法2：原式12lim121xxx+→∞⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠211222lim121xxx++→∞⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠2112222lim112121xxxx+→∞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠e=解法1：xxxx30sin1sin1lim−−−→()30sinlimsin1sin1xxxxxx→−=−+−301sinlim2sinxxxx→−=2011coslim23sincosxxxx→−=220112lim23xxx→=112=解法2：xxxx30sin1sin1lim−−−→3011sin22limxxxx→−+=301sinlim2xxxx→−+=5201cos1lim23xxx→−+=220112lim23xxx→=112=()221arctan12limlim111sincosxxxxxxxπ→+∞→+∞−−+=−洛比达法则22lim1xxx→+∞=+1=不存在xxx1sinarctan2lim−∞→π()xxxtan2sinlimπ→，tansinxyx=解：令tanlnsinyxx=⋅则ln22limlimtanlnsinxxyxxππ→→=⋅ln2lnsinlim1tanxxxπ→=222cossinlimsectanxxxxxπ→=−22coslimsinsinxxxxπ→=−⋅21limsin22xxπ→=0=,02limlnxyeπ→=ln2lim1xyπ→=6解：sinsinln00limlimxxxxxxe++→→=0limsinlnxxxe+→=00lnlimsinlnlim1sinxxxxxx++→→=021limcossinxxxx+→=−⋅20sinlimcosxxxx+→=−⋅0limsinxx+→=−0=sin0lim1xxx+→∴=xxx3tan6sinlim6⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→ππ，6txπ=−解：令06limsintan3limsincot36txxxttππ→→⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠则0cos3limsinsin3tttt→=⋅0sinlimsin3ttt→=13=xxxx5sinsin3sinlim0−→00sin3sin2sin2coslimlimsin5sin5xxxxxxxx→→−=解：02sin2limsin5xxx→=45=7；⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+→2sin12coslim220xxxx2222200212limcoslimcossinsin22xxxxxxxxx→→⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠解：222002limcoslimsin2xxxxxx→→=+2220022limcoslim2sin2xxxxxx→→=+⋅0=30sin1tan1limxxxx+−+→330011tansin1tan1sin22limlimxxxxxxxx→→−+−+=解：301tansinlim2xxxx→−=()30sin1cos1lim2cosxxxxx→−=2011coslim2xxx→−=01sinlim22xxx→=14=；()xxxx2coscos11lim20−→8()201lim1coscos2xxxx→−解：；()1ln10lim−→+xexx()()1lnln1ln100limlimxxxeexxxe++−−→→=解：()0lnlimln1xxxee+→−=01limxxxexee+→−=0limxxxxeexee+→+=01lim1xxe+→+=e=（2），则（）32lim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→xxkxkx=k（a）（b）（c）（dddd）2e21e23ln31221lim321kxkkxxkkxkx−→∞−⎡⎤⎛⎞⎢⎥+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=⎡⎤⎛⎞⎢⎥−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦分析：32133ln33kkkeeke−⇒=⇒=⇒=（12）数列的极限是（）nnnxncos+=（aaaa）1（b）-1（c）0（d）不存在cos1limlimlim1cos1nnnnnnxnnn→∞→∞→∞+⎛⎞==+=⎜⎟⎝⎠分析：（16）（）()()()=+++∞→3321limnnnnn（a）0（b）1（c）3（d）69()()()3123123limlim1111nnnnnnnnn→∞→∞+++⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠分析：（18）（）=→xxx3sin5sinlimπ（a）（b）-1（c）1（dddd）34−35sin55cos55limlimsin33cos33xxxxxxππ→→==分析：（22）（）=+−++∞→xxxxxsin31lim2（a）-1（bbbb）-2（c）1（d）22211313limlim2sinsin1xxxxxxxxx→+∞→+∞+−+−==−++分析：（23）若，则（）()51sinlim21=−++→xbaxxx（a）（b）3,5==ba6,7=−=ba（cccc）（d）4,3−==ba1,0−==ba()()2211lim5lim01sin1xxxaxbxaxbbax→→++=++==−−−分析：由，可知，即()()()1111lim5sin1xxxabax→−++=−−=−将代入()1lim153xxaa→++==得，即（26）（）=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++∞→112cos1lim22xxxxxx（a）0（b）1（cccc）2（d）3102222121121limcoslimcoslim11xxxxxxxxxxxxx→∞→∞→∞⎛⎞+++++=+⎜⎟−−⎝⎠分析：221121limcoslim11xxxxxxx→∞→∞++=+−2=（28）如果，则（）322sin3lim0=→xmxx=m（a）1（b）2（c）4/9（d）9/4003sin23sin2324limlim2323239xxmmxmmxmmmxmx→→=⇒=⇒=⇒=分析：（29）（）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++∞→22221limnnnnn⋯（a）0（b）（cccc）1/2（d）1∞()2222111212limlim2nnnnnnnnn→∞→∞+⎛⎞+++==⎜⎟⎝⎠⋯分析：（30）若，则（）2134lim2=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−+∞→baxxxx（a）（bbbb）6,2==ba2,4−=−=ba（c）（d）1,3==ba2,0−==ba243lim24041xxaxbaax→∞⎛⎞+++=+=⇒=−⎜⎟−⎝⎠分析：由，可知()43lim24221xbxbbbx→∞+−+=⇒+=⇒=−−（31）的值为（）xxxxsin1sinlim20→（a）1（b）（c）不存在（dddd）0∞1120011sinsin0limlim0sinsin1xxxxxxxxx→→===分析：（32）（）=∞→222sinlimxmxx（aaaa）0（b）（c）（d）∞2m22m2222sin1limlimsin022xxmxmxxx→∞→∞==分析：三、函数连续（5）已知函数在连续，则（）()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠−=0,0,211xbxxxfx0=x=b()()0lim0xfxf→=分析：函数在一点连续的充分必要条件是而()()1200limlim12xxxfxxe−→→=−=()0fb=2be−∴=（6）已知函数在连续，则（）()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,21lnxbxxxxg0=x=b解：()()()()110000ln12limlimlimln12lnlim122xxxxxxxfxxxx→→→→+==+=+=()0fb=2b∴=（11）已知函数在内连续，则（）()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,2sinxaxxxxf()+∞∞−,=a12解：，()()sin2,00xxfxxax⎧≠⎪=−∞+∞⎨⎪=⎩要使在，内连续sin2xxx≠∵当0时,是连续函数()sin2,00xxfxxxax⎧≠⎪∴=⎨⎪=⎩只要使在=0处连续()()0lim0xfxf→=即只要使0sin2lim222xxaax→=⇒=（20）已知函数在连续，则（）()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠−−=11,113xaxxxxxf1=x=a（aaaa）2（b）-2（c）1（d）-1()31,111xxfxxxax⎧−≠⎪=−⎨⎪+=⎩分析：要使有意义()()1lim1xfxf→=须使311lim13121xxaaax→−=+⇒=+⇒=−即（34）若在连续，则（）()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==01sin00sin1xbxxxaxxxxf0=x（a）（bbbb）1,1−==ba1,1==ba（c）（d）1,1=−=ba1,1−=−=ba13()1sin0001sin0xxxfxaxxxbxx⎧⎪⎪===⎨⎪⎪+⎩分析：要使在处连续()()()00limlim0xxfxfxf−+→→==只要使0011limsinlimsinxxxxbaxx−+→→⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠只要使即a=1,b=1（36）已知在连续，则（）()⎪⎩⎪⎨⎧≤+=02sin02xxbxxbxaxf0=x（a）（b）1,0==ba0,1==ba（c）（d）ba2=ab2=()200sinlimlim2xxbxabxax−+→→+==由题意，只要使()200limsinli