空间向量运算教学设计

教材分析：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高•教学目标•1．双基目标•1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间向量的运算．•2．理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题．•3．掌握空间的向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体几何中的简单问题．•4．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，会判断两个向量平行或垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式，并会用这些公式解决有关问题．•5．理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．•6．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)，能够用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及距离问题．•7．在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力．•情感目标•让学生经历由平面向量向空间向量推广的过程，感悟运算、推理在探索和发现中的作用，感受理性思维的力量，提高学生的数学素养．•重点难点•本章重点：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离．•本章难点：用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，能用向量方法证明有关线、面关系的一些定理，并能解决线线、线面、面面的夹角及距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．•知识脉络：•空间向量及其基本概念→线性运算→简单应用•↓↓•实际背景数量积•↓•基本定理•↓•坐标运算教材分析：用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。学情分析本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺所以通过教师的引导学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构教学目标：.知识目标1.掌握空间右手直角坐标系、2.空间向量的坐标运算规律，3.平行向量与垂直向量坐标之间的关系、距离与夹角公式．能力目标通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．情感目标通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦。学法探究空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示具有大小和方向的量，它们的运算：加法、减法、数乘、数量积也完全相同．因此，利用空间向量解决立体几何问题，也是先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素，建立立体几何与空间向量的联系，进行空间向量的运算；作出运算结果的几何解释，进而得出几何结论。在学习过程中，我们要注意空间向量与平面向量的类比，体会空间向量在立体几何中的作用．教学流程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：ABOAOB=a+b，OAOBAB（指向被减向量），OPλa)(R［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a；⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a+b)=λa+λb．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：nnnAAAAAAAAAA11433221因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221AAAAAAAAAAnnn．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''DCBAABCD（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BCAB；⑵'AAADAB'21CCADAB⑶．⑷)'(31AAADAB说明：平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P1061、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？板书设计：§3.1空间向量及其运算（一）一、平面向量复习二、空间向量三、例1⒈定义及表示方法⒈定义及表示⒉加减与数乘运算⒉加减与数乘向量小结⒊运算律⒊运算律课后反思：