八年级一次函数与四边形(有答案)

试卷第1页，总4页一次函数与四边形测试1．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．2．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.试卷第2页，总4页3．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．4．．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。5．已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．(1)说明：△BCE≌△DCF；(2)OG与BF有什么数量关系？说明你的结论；(3)若BC·BD＝22，求正方形ABCD的面积．试卷第3页，总4页6．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：yx交于点C．（1）若直线AB解析式为212yx，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．如图2，作AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ＋PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．图2APQByOCxENAByOCx图1试卷第4页，总4页7．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H。（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；8．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．PMB)0(SS答案第1页，总5页参考答案1．（1）答：四边形EFGH的形状是正方形．（2）解：①∠HAE=90°+a，在平行四边形ABCD中AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE=错误!未找到引用源。AB，DC=错误!未找到引用源。CD，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDC，∴HE=HG．③答：四边形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，∴四边形EFGH是正方形．2．解（1）EG=CGEG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)（2）EG=CGEG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)证明：延长FE交DC延长线于M，连MG∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°答案第2页，总5页∴四边形BEMC是矩形.∴BE=CM，∠EMC=90°又∵BE=EF∴EF=CM∵∠EMC=90°，FG=DG∴MG=21FD=FG∵BC=EM，BC=CD∴EM=CD∵EF=CM∴FM=DM∴∠F=45°又FG=DG∵∠CMG=21∠EMC=45°∴∠F=∠GMC∴△GFE≌△GMC∴EG=CG，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG∴MG⊥FD∴∠FGE+∠EGM=90°∴∠MGC+∠EGM=90°即∠EGC=90°∴EG⊥CG-------------------------------------------------------------------------------------------(2分)【答案】解：（1）如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）∠BDG=45°（3）解：分别连接GB、GE、GC，∵AD∥BC，∠ABC=120°∴∠ECF=∠ABC=120°∵FG∥CE且FG=CE，∴四边形CEGF是平行四边形，答案第3页，总5页由（1）得CE=CF．∴四边形CEGF是菱形，∴GE=EC，①∠GCF=∠GCE=错误!未找到引用源。∠ECF=60°，∴△ECG是等边三角形．∴EG=CG，∠GEC=∠EGC，∴∠GEC=∠FGC，∴∠BEG=∠DCG，②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，在▱ABCD中，AB=DC，∴BE=DC，③由①②③得△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∠1=∠2∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°，∴∠BDG=错误!未找到引用源。=60°4．（1）过点B作BC⊥y轴于点C，∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，∴AB=OB=2，∠BAO=60°，∴BC=3，OC=AC=1，即B（31，）（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB∴△APO≌△AQB总成立，∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行。当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。又OB=OA=2，可求得BQ=3，由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=3，∴此时P的坐标为（30，）。②当点P在x轴正半轴上时，点Q在嗲牛B的上方，此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。答案第4页，总5页又AB=2，可求得BQ=23，由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=23，∴此时P的坐标为（230，）。综上，P的坐标为（30，）或（230，）。5．(1)因为四边形ABCD是正方形,所以BC=DC,∠DCB=∠DCF=90°,而CF＝CE,则△BCE≌△DCF.(2)BFOG21由(1)知△BCE≌△DCF,所以∠CDF=∠CBE,且∠CEB=∠DEG,则∠DGE=∠BCE=90°，又因为BE平分∠DBC，所以GF＝GD．而O正方形ABCD的中心，则OG是△DBF的中位线，所以BFOG21．（３）因为四边形ABCD是正方形,所以BC=DC，且∠DCB=90°．在DBCRt中有CBBD2，又因为.2ABCDCBS正方形BC·BD＝22,所以22BC2BC.2ABCD正方形S6．解：（1）①由题意，212,.yxyx解得4,4.xy所以C（4，4）②把0y代入212yx得，6x，所以A点坐标为（6，0），所以164122OACS.（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵OP平分AOC，∴AOQCOQ，答案第5页，总5页又OQ＝OQ，∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ＋PQ＝AQ＋MQ，当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ＋MQ最小.即AQ＋PQ存在最小值.∵AB⊥OP，所以AEOCEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝4，∵△OAC的面积为6，所以2643AM，∴AQ＋PQ存在最小值，最小值为3.7．解：（1）直线AC的函数关系式为（2）8．（1）证明见解析（2）∠PAG=45°,PG=OG+BP，理由见解析（3）y=33x﹣12521xy55.2),52(455.20),25(43ttttS