轴对称图形讲义不错

1（1）（2）（3）（4）图1轴对称图形讲义定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。练一练：1、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．与其他三个．．不同？这个图形是：（写出序号即可）2、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）3、观察如图所示的26个英文字母，其中是轴对称的有个。ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ4、将一正方形纸片按图1中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（）课堂练习：1、下列图形中一定是轴对称图形的是（）A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形2、下列图形中，是．轴对称图形的为（）ＡＢＣD3、下列各数中，成轴对称图形的有（）个BACD24、如图，由４个全等的正方形组成L形图案，（１）请你在图案中改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图案。（２）请你在图中再添加一个小正方形，使它变成轴对称图案。5、如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。轴对称图形的性质：（1）对应点连线被对称轴垂直平分（2）对应角相等、对应线段相等。做轴对称图形：例题讲解：1、作△ABC关于直线l的对称△A’B’C’2.下图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为3.在镜子中看到时钟显示的时间是则实际时间是.ABCDHEFG（第8题）l34．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有条．5.如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9cm，△BCE的周长为15cm，求BC的长．6.如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E和D，BE=6，求△BCE的周长．7．如图，已知在AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC，为什么？8．如图，已知△ABD与△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC．49．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、F分别为AB、AC的中点，DE⊥AB，GF⊥AC，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度．10．如图，已知∠AOB和∠AOB内一点P，你能在OA和OB边上各找一点Q和R，使得由P、Q、R三点组成的三角形周长最小吗？11、已知：如图，在∠AOB外有一点P，试作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P1关于直线OB的对称点P2.⑴试探索∠POP2与∠AOB的大小关系；⑵若点P在∠AOB的内部，或在∠AOB的一边上，上述结论还成立吗？课后练习1．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE=_________．2．已知Rt△ABC中，斜边AB=2BC，以直线AC为对称轴，点B的对称点是B′，如图所示，则与线段BC相等的线段是______，与线段AB相等的线段是_______和_______．与∠B相等的角是_______和_______，因此，∠B=________．3．等腰△ABC中，AB的中垂线与AC所在直线相交成的锐角为50°，则底角B的大小为________．OAB·POAB·P54.如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=_______．5．如图，∠ABC与∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求证：BD+EC=DE．6．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，求∠A的度数．7．如图，BCAB，BD平分∠ABC且AD=DC．求证：∠A+∠C=180°．8．如图，∠AOB内一点P，分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为多少？6简单的轴对称图形之等腰三角形概念：等腰三角形相等的两边叫做腰，另一边叫底，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半。例题讲解：题型一：边长与角度问题：例1、⑴等腰三角形的周长为10,一边长为4,那么另外两边长为_________.⑵等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm,则它的周长为______.⑶等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12cm和21cm两部分,则其底边长为_______cm.⑷等腰三角形底边上的高是底边的一半,则它的顶角为_______.（5）等腰三角形一个角是30°，求其他两个角。（6）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，求顶角例2、如图，在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD,（1）∠ADC=70°，求∠BAC的度数.（2）找出图中相等的角并说明理由.例3.如图，中，，BD是∠ABC的平分线，且∠BDC=75o,求∠BAC的度数。题型二：周长问题例4、一个等腰三角形的周长为15cm，一腰上的中线把周长分为两部分，这两部分的差为6cm，求腰长。ABC△ABACDCBADABCABCD7例5．如图，中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，已知△ADE的周长为20cm，且BC=12cm，求的周长题型三、等腰三角形个数例6、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.6个B.7个C.8个D.9个例7、P为等边△ABC所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,这样的点P有_______个.练习：小明将两个全等且有一个角为的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．1题型四、等腰三角形证明例8.如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角形.基础练习：1、若OD平分∠AOB，DE∥OB交OA于E．求证：EO＝ED．2、如图4，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD．ABC△ABC△60ABCDEFfA36°EDFBCAFCDHBMEG8EDBAC3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求证：△DBC是等腰三角形．4、已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠BCD和∠DBC的度数。5、如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE．求证：BDCE6、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。求证：∠DBC=∠A。21DCBAABCD9FECBADCBA7．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC=BF，求∠ECF的度数。8．已知：如图，在ABC中，90B，ABBC，AD是A的平分线.求证：ABBDAC.提高练习：9.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。10、如图所示是一个正三角形，分别连结各边的中点得到图2，再分别连结图2中间小三角形三边的中点得到图3，其中s表示图中等边三角形的个数，问（1）当n=4时，s为多少？（2）请你按此规律写出用n表示s的公式。11.如图，已知：△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE,DE交BC于点F,求证：DF=EFABCDEFn=3,s=9n=2,s=5n=1,s=1①③②1012．如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B度数．13．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证:CT=BE．14．在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．15．如图,已知:AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证:CAF=B.12题图CABHACTEBMDACDBBDCAEF1116.如图1，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过D作EF//BC,交AB于E,交AC于F,易证:EF=BE+CF.当D为∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线的交点（如图2）时，或当D为∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线的交点（如图3）时，其它条件都不变，EF、BE、CF的关系又如何？请对图2进行证明.图1图2图3题型五、等腰三角形分割问题例8、在△ABC中,AB=AC,若过其中一个顶点的一条直线,将△ABC分成两个等腰三角形,求△ABC各内角的度数(只要求出三个不同的解)。例9、（1）如图1，中，，请用直尺和圆规作一条直线，把分割成两个等腰三角形（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．练习1：已知一个三角形的一个内角为54°，如果过该三角形一个顶点的直线可以将其分为两个等腰三角形，那么这个三角形的最大角为练习2：数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题(1)．(1)已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；(2)在证明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形ABC△90C∠ABC△ABCDEFHABCDEFGABCDEFGABC图1ABC图224°24°84°ABC图3104°52°12FEDCBA两个底角的度数；(3)接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．课后练习1．等边三角形ABC中，D为AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，若AB＝10，则BE＝2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3㎝，则CD＝㎝3．等腰三角形的一个外角为140°，则这个三角形的顶角为°．4．等腰三角形的两边长分别为9和4，它的周长为．5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10㎝，则BC＝㎝．6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，EF垂直平分AB如CF＝8，则BF＝．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4cm，则其腰上的高为cm.8.在等腰△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,且AB＋AC＋BC＝50cm,而AB＋BD＋AD＝40cm,则AD＝___________cm.9.、如图,∠P＝25°,又PA＝AB＝BC＝CD,则∠DCM＝____10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90o，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD＝2CE．第6题图FECBA第2题图第1题图ODCBAEDCBAABC图①图②图③36°12313BDCA11、如图，在△ABC中，D是BC边上一点AD=BD，AB=A