二次函数的应用题及答案集训二

奋斗教育辅导学校二次函数应用题集训二考点1：二次函数的数学应用题1.（2011湖北黄石，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m·n的最大值为。【答案】362.（2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C.（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，①试求出当n=3时a的值；②直接写出a关于n的关系式.解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=12，∴122ba,得b=1；……2分（2）设所求抛物线解析式为21yaxbx，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（12，2）NMFEyxCBAO图1图2图3yxCBAO…CD=1.15厘米yxCBAO…yxOCAB∴14211121.42abab，解得4,38.3ab∴所求抛物线解析式为248133yxx；……4分（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为2yaxbx，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，∴13ODOCCDBC,设OD=t，则CD=3t，∵222ODCDOC，∴222(3)1tt，∴1101010t,∴C（1010，31010）,又B（10，0），∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得01010311010.101010abab，解得:a=103；……2分②21nan.……2分3.（2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=xk相交于点A，B.已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；xyOABCDxyOCEABMNF（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．【答案】（1）把点B（－2，－2）的坐标，代入y=xk，得：－2=2k，∴k=4．即双曲线的解析式为：y=x4．设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…①又∵tan∠AOx=4，∴nm=4，即m=4n．…②又①，②，得：n2=1,∴n=±1.∵A点在第一象限，∴n=1,m=4，∴A点的坐标为（1，4）把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：baba242,4解得a=1，b=3；∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x－4=0，解得x1=－4，x2=1（舍去）．∴C点的坐标为（－4，4），且AC=5，又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=21×5×6=15；（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积.过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（－4，4），CD∥AB，所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.解方程组,122,32xyxxy得,18,3yx所以点D的坐标是（3，18）4.（2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线22yxxc经过点A．①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．【答案】解：(1)∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴，∴AB=2，OB＝4，∴1124422OABSABOB(2)①把点A的坐标（－2，4）代入22yxxc，得2(2)2(2)4c，∴c＝4②∵2224(1)4yxxx，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2），∴m的取值范围为lm3．5．（2011湖南益阳，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点．．A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点．．，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．【答案】解：⑴设抛物线的解析式为21(0)yaxa，抛物线经过1,0A，01,1aa，21yx.,0,1PPxP、关于轴对称且,01P点的坐标为，－PB∥x轴,1B点的纵坐标为,图9xyBAPP′P1OCD......由212xx+1解得，2,1B,2PB.OAPB，CPB∽COA，1222CAOACBPB．⑵设抛物线的解析式为2(0)yaxma01A抛物线经过，，0,amam＝2ymxm．PB∥x轴Bm点的纵坐标为，2ymmxmm当时，220mx，0m，220x，2x，2,Bm，2PB，同⑴得12.22CAOACBPB22CAmCB为任意正实数时，．6.（2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线212yxxa与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.(1)求a的值；(2)求A,B两点的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由.【答案】解：(1)∵二抛物线212yxxa的顶点坐标为24(,)24bacbaa，∴x=1,∵顶点在直线y=－2x上，所以y=－2,即顶点坐标为（1，－2），∴－2=12－1+a,即a=－324;(2)二次函数的关系式为21322yxx，当y=0时，213022xx，解之得：121,3xx，即A（－1，0），B（3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,因为A(－1.0),C(0,32),所以直线AB的解析式为3322yx,所以设BD的解析式为32yxb,因为B(3,0),所以b=92,直线BD的解析式为:3922yx,同理可得:直线AD的解析式为:1122yx,因此直线BD与CD的交点坐标为:(2,32),则点D关于x轴的对称点D´是(2,－32),当x=2时代入21322yxx得,y=32,所以D´在二次函数21322yxx的图象上.7．（2011湖南永州，24，10分）如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过A（2，1），B（0,7）两点．⑴求该抛物线的解析式及对称轴；⑵当x为何值时，0y？⑶在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．【答案】解：⑴把A（2，1），B（0,7）两点的坐标代入cbxxy2，得7124ccb解得72cb所以，该抛物线的解析式为722xxy，又因为8)1(7222xxxy，所以对称轴为直线1x．⑵当函数值0y时，0722xx的解为221x，结合图象，容易知道221221x时，0y．⑶当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n），则722mmn，即722mmCF（第24题）因为C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴1x对称，设点D的横坐标为p，则11pm，所以mp2，所以CD=mmm22)2(因为CD=CF，所以72222mmm，整理，得0542mm，解得1m或5．因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取1．当1m时，722mmn=7)1(2)1(2=4于是，得点C的坐标为（1，4）．8.（2011山东东营，23，10分）(本题满分10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线22yaxax经过点B。（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；∴∠BCD=∠CAO；又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，∴△BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1)（2）抛物线22yaxax经过点B(3,1)，则得1932aa解得12a，所以抛物线的解析式为211222yxx（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）。∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（－1，－1）；经检验点P1（－1，－1）在抛物线为211222yxx上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）。同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（－2，1），；经检验点P2（－2，1）也在抛物线211222yxx上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），；经检验点P3（2，3）不抛物线211222yxx上；故符合条件的点有P1（－1，－1），P2（－2，1）两个。9.（2011河北，26，12分）如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线cbxxy2经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，－5），D（4，0）.(1)求c，b（用t的代数式表示）；（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=821；（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“