九年级数学圆的证明与计算试题汇编

九年级数学圆的证明与计算试题汇编1.（.元月调考）在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.（1）求证CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比OEFDCAB2.（今元月调考）：.如图D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ΔABC三边于E,F,G三点，连接FE,FG.（1）求证∠EFG=∠B;(2)若AC=2BC=45,D为AE的中点，求CD的长。3．（今元月调考）如图，AB为半圆的直径，B是AB弧的中点，C为AD弧上的点，弦BC、AD相交于E，弦AC、BD的延长线相交于点F，求证DE=DF。FEDCBA4.（今元月调考）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM=ON，则AB=CD．（1〕请帮小辩证明这个结论;（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G，若AD=9,CF=2，,求△ABC的周长．5．（.年四月调考）如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为BD的中点，AF为△ABC的角平分线，且AFEC（1）求证AC与⊙0相切；（2）若AC=6，BC=8，求EC的长．6.（今年四月调考）如图，AE是ABC外接圆O的直径，AD是ABC的边BC上的高，EFBC，F为垂足.（1）求证：BFCD；（2）若1CD，3AD，6BD，求圆O的直径.DoCEFBA7.（今年四月调考）如图，等腰ABCΔ内接于⊙O，CABA，弦CD平分ACB，交AB于点H，过点B作AD的平行线分别交AC，DC于点E，F。(1)求证：BFCF；(2)若1DHBH，求FH的值。8．（今年四月调考）如图，AB，CD，分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB//CD，OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点A，连接MN（1）求证：OB⊥OC；(2)若OB=6，OC=8，求MN的长.NMGFECOBAD9、（.五月调考）如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=25，AB=25，求AE的长.、（1）证明：连结AD，OD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又AB=AC∴BD=DC又OA=OB∴OD∥AC又DF⊥AC∴DF⊥OD∴DF为⊙O的切线(2)连结BE交OD于G∵AC=AB,AD⊥BC∴∠EAD=∠BAD∴=∴ED=BD,OE=OB∴OD垂直平分EB∴EG=BG又AO=BO∴OG=21AE在Rt△DGB和Rt△OGB中2222OGBODGBDABCDEFO(第22题图)EDBDABCDEFOG∴2222454525OGOG解得:OG=43∴AE=2OG=2310．（今五月调考）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．（1）求证：△ACE∽△CFB；（2）若AC＝6，BC＝4，求OH的长．FHEDOABC22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠FCB＝45°．∵AE⊥CD，∴∠CAE＝45°＝∠FCB．在△ACE与△BCF中，∠CAE＝∠FCB，∠E＝∠B，∴△ACE∽△CFB．（2）解：延长AE、CB交于点M．∵∠FCB＝45°，∠CHM＝90°，∴∠M＝45°＝∠CAE．∴HA＝HC＝HM，CM＝CA＝6．∵CB＝4，∴BM＝2．∵OA＝OB，∴OH＝21BM＝1．MFHEDOABCECOABDOFEDCBA11．（今五月调考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）求证：△CBE∽△CAB；（2）若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．22．（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在△CBE与△CAB中；∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB．……4分（2）解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD∵S△CBE：S△CAB＝1:4，△CBE∽△CAB∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴AC＝4EC∴AE：EC＝3：1∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD∥OC，则AD：FC＝AE：EC＝3:1设FC＝a，则AD＝3a，∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝12AD＝1.5a，∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，在Rt△ABD中，sin∠ABD＝ADAB＝3a3=5a5…………………………8分（本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分）12．（今五月调考）如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若tan∠BAC＝22，求AHCH的值．HCDOABEMN（1）证明：连接OE．……………………………………………1分∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB．……………………………………………2分∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°，……………………………………………3分∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线．……………………………………………4分（2）延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．因为DA、DC、CB为⊙O的切线，∴DA＝DE，CB＝CE．在Rt△ABC中，因为tan∠BAC＝22，令AB＝2x，则BC＝2x．∴CE＝BC＝2x．……………………………………………5分令AD＝DE＝a，则在Rt△DTC中，CT＝CB－AD＝2x－a，DC＝CE＋DE＝2x＋a，DT＝AB＝2x，∵DT2＝DC2－CT2，∴(2x)2＝(2x＋a)2－(2x－a)2．……………………………………………6分解之得，x＝2a．……………………………………………7分∵AB为直径，∴∠AEG＝90°．∵AD＝ED，∴AD＝ED＝DG＝a．∴AG＝2a．……………………………………………8分因为AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，∴AG∥BC．所以△AHG∽△CHB．∴AHCH＝AGCB＝2a2x．……………………………………………9分∴AHCH＝1．……………………………………………10分13．（.中考）如图，RtABC△中，90ABC°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值．证明：（1）连接ODOEBD、、．AB是O⊙的直径，90CDBADB°，E点是BC的中点，DECEBE．ODOBOEOEODEOBE，，△≌△．90ODEOBE°，直线DE是O⊙的切线．（2）作OHAC⊥于点H，由（1）知，BDAC⊥，ECEB．OAOBOEAC，∥，且12OEAC．CDFOEF，DCFEOF．CFOF，DCFEOF△≌△，DCOEAD．45BABCA，°．OHADOHAHDH⊥，．13tan3OHCHOHACOCH，．CEBAOFDCEBAOFDHCEABOP14.（今中考）如图，点O在APB的平分在线，圆O与PA相切于点C；(1)求证：直线PB与圆O相切；(2)PO的延长线与圆O交于点E。若圆O的半径为3，PC=4。求弦CE的长。(1)证明：过点O作ODPB于点D，连接OC。∵PA切圆O于点C，∴OCPA。又∵点O在APB的平分线上，∴OC=OD。∴PB与圆O相切。(2)解：过点C作CFOP于点F。在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=5，22PCOC=5，∵OCPC=OPCF=2S△PCO，∴CF=512。在Rt△COF中，OF=22CFOC=59。∴EF=EOOF=524，∴CE=22CFEF=5512。15.（今中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=21,求sin∠E.（1）证明：连接OA,∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°∵OA=OB,OP⊥AB于C,∴BC=CA,PB=PA∴△PAO≌△PBO∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB为⊙O的切线(2)解法1：连接AD,∵BD为直径，∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°∴AD//OP,∴△ADE∽△POE∴EPEA=OPAD,由AD//OC得AD=2OC∵tan∠ABE=21,∴BCOC=21设OC=t,则BC=2t,AD=2t,由△PBC∽△BOC得PC=2BC=4ｔ，ＯＰ=５ｔ，∴EPEA=OPAD=52.可设ＥＡ=２ｍ，ＥＰ=５ｍ，则ＰＡ=３ｍ，∵ＰＡ=ＰＢ∴ＰＢ=３ｍ，∴sin∠E＝EPPBABCOEPABCOEPFD16．（今武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．[来源:学。科。网Z。X。X。K]考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。解答：（1）解：作直径CD，连接BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∠A=∠D，∵BC=4，sin∠A=，∴sin∠D==，∴CD=5，答：三角形ABC外接圆的直径是5．（2）解：连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=4，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sin∠A==，∴BF=，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=，AC=2AF=，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即4×R+4×R+×R=×，∴R=，在△AIF中，AF=，IF=，由勾股定理得：AI=．答：AI的长是．