刚体平面平行运动

§4-6刚体的平面平行运动1.自由度所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。考虑到刚体既有平动又有转动，其独立坐标数由质心坐标，转轴的方位角与刚体绕转轴的转动角度决定。oxyzC(x,y,z)首先确定质心位置。空间任何一个点需要三个独立坐标来确定位置，因此用三个坐标如C(x,y,z)来决定质心位置。其次刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在直角坐标系中，采用用、，如图所示：oxyzp最后，刚体绕定轴转动时，需要一个坐标来描述，选定参考方向后，转动位置用表示。总的说来，刚体共有6个自由度，其中3个平动自由度，3个转动自由度。物体有几个自由度，它的运动定律可归结为几个独立的方程。自由度2.刚体的平面平行运动定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。刚体的平面平行运动可以看做基点的平动与绕基点的转动的叠加。基面和基点：选择一个平行于参考平面的平面作为基面，在基面上选择一个点作为基点。设质心在Oxy平面内运动，则平动方程CxxmaFCyymaF可以证明，定轴转动定律在此仍适用CCJM刚体的平面平行运动转动瞬心纯滚动CvARGRBRABGARBR车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系Rx则Rvc刚体的平面平行运动接触点速度为零车轮上任意一点的速度rvvCCvARGRBRABGARBRG点的速度0rvvCGB点的速度CCBvRvv2A点的速度CCAvRvv2)(22刚体的平面平行运动刚体的动能2)(21iiikvmE])()(2[2122iiCCiirrvvm22)(21)()(21iiiiiiCiCirmrmvvm质心是基点0iiirm且iimm所以222121CCkJmvE刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动动能之和。刚体的平面平行运动例题4-9讨论一匀质实心的圆柱体在斜面上的运动。NaCxG=mgrxyOfr解圆柱体所受的力共有三个：重力G，斜面的支承力N和摩擦力fr，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径为r，那么，它对其几何的转动惯量221mrJ刚体的平面平行运动这样可得rCfmgmaxsincosmgNmayCrfJr以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时0yCa解上列五个式子，得raxC我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和斜面垂直而向上为y轴的方向刚体的平面平行运动，21sinmrJgaxCrmrJg21sin，sin2mgJmrJfrcosmgN代入上式得因221mrJrgsin32，sin31mgfr，sin32gaxC刚体的平面平行运动如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin，这时质心的速度由ghgxxavxC34sin3422求得ghv34如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是singaxC刚体的平面平行运动而圆柱体对质心的角加速度与角速度为，00如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是x，则质心所获得的速度由ghgxxavxC2sin222求得ghv2在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度之比是32刚体的平面平行运动本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动下降这段高度时，全部动能是222121CkJmvEC对纯粹滚动而言，vc=r，以此代入得22121CvmrJmECk由机械能守恒定律得刚体的平面平行运动22121CvmrJmmghC求得212mrJghvCC代入上式得因221mrJghv34和以前的结果完全一致。刚体的平面平行运动例4-10一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。解：设静摩擦力f的方向如图所示，则由质心运动方程：CmafF圆柱对质心的转动定律CJRflF纯滚动条件为RaC圆柱对质心的转动惯量为FaC221mRJC联立以上四式，解得刚体的平面平行运动mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见lr/2,f0,静摩擦力向后lr/2,f0,静摩擦力向前l=r/2,f=0刚体的平面平行运动mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见lr/2,f0,静摩擦力向后lr/2,f0,静摩擦力向前l=r/2,f=0刚体的平面平行运动