新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(1)(学生版)

1新课预习讲义选修2－1：第二章椭圆（一）§2.2.1椭圆及其标准方程●学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.●学习重点：本节的重点是椭圆的标准方程，坐标法的基本思想；●学习难点1.难点是椭圆标准方程的推导与化简、坐标法的应用．2.本节充分体现了待定系数法、方程思想和数形结合思想的作用．因此很容易和三角、方程等内容结合出题.一、自学导航●知识回顾：复习：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么？圆的一般方程是什么？●预习教材：第38页——第43页的内容。●自主梳理：1.椭圆的定义是_________________________________________________2.椭圆的标准方程是_____________________________________________●预习检测：1．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．82．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．7D．83．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．4．已知椭圆8x281＋y236＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与x29＋y24＝1共焦点的椭圆的方程●问题与困惑：2PF2F1二、互动探究●问题探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．新知１：我们把平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反思：若将常数记为2a，为什么122aFF？当122aFF时，其轨迹为；当122aFF时，其轨迹为．试试：已知1(4,0)F，2(4,0)F，到1F，2F两点的距离之和等于8的点的轨迹是．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122aFF．新知２：焦点在x轴上的椭圆的标准方程222210xyabab其中222bac若焦点在y轴上，两个焦点坐标，则椭圆的标准方程是．●典例导析：题型一、用待定系数法求椭圆的标准方程例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.(3)求焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点．[思路点拨]由题目可获取以下主要信息：(1)两小题均已知焦点坐标；(2)由(1)知椭圆过点(5,0)；由(2)知椭圆上的一点P到两焦点的距离之和为26；由(3)知椭圆上两点已知．解答本题可先根据焦点位置设出相应方程，再利用a，b，c的关系求出待定系数得椭圆方程．3[题后感悟](1)求曲线方程时，若能确定方程的形式，则可先设出所求曲线方程，然后借助已知条件得到含参数的方程，解方程求出参数的值，代回所设方程可得所求曲线的方程；(2)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．（3）确定一个椭圆的标准方程需要两个独立的定量条件和一个定位条件.变式训练：1.(1)已知椭圆的焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，且过点A4，95，求椭圆的标准方程．(2)求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)的椭圆的标准方程．题型二、椭圆定义的应用例2－1、(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．例2－2、如图所示，已知F1，F2是椭圆x2100＋y236＝1的两个焦点．(1)求椭圆的焦点坐标；(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．[思路点拨]4[题后感悟](1)已知椭圆标准方程求焦点坐标，关键是由方程确定焦点所在轴，a2，b2的值可以由方程直接得到，利用式子c＝a2－b2可求焦点坐标．若椭圆方程不是标准方程需先化为标准方程．(2)若F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(或y2a2＋x2b2＝1)的两个焦点，且过F1(或F2)的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2(或△ABF1)的周长为4a.变式训练：2.(1)已知经过椭圆x225＋y216＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点．求△AF1B的周长．(2)椭圆x212＋y23＝1，焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍例2－3、如图所示，点P是椭圆y25＋x24＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．[思路点拨]由题目可获取以下主要信息：①椭圆方程为y25＋x24＝1；②F1，F2是焦点，P是椭圆上一点且∠F1PF2＝30°.解答本题可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，最后求出S△F1PF2.[题后感悟]椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝12absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．5变式训练：如图所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．题型三、求与椭圆相关的轨迹方程例3、已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹．[思路点拨]动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式，可求出动圆圆心的轨迹方程，进而确定出轨迹图形．[题后感悟]解答与椭圆相关的求轨迹问题的一般思路是变式训练：4.已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程[疑难解读]1．椭圆定义的理解平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，如图所示．椭圆的定义用集合语言表示为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a|F1F2|}．注意“2a|F1F2|”这一条件，若2a＝|F1F2|，则动点M的轨迹为线段F1F2；若2a|F1F2|，则其轨迹不存在，此定义是推导椭圆方程的依据．2．椭圆的定义的应用6(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为数学问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体或者配方等灵活应用．3．利用待定系数法确定椭圆的标准方程求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆方程一般式．(1)如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，那么可以利用待定系数法首先建立方程，然后依照题设条件，计算方程中a、b的值，从而确定方程，有时方程有两个．如果明确焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如果明确焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．(2)如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上，那么方程可以设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，进而求解．[特别提醒]没有明确指出椭圆与坐标系的相对位置时，一般考虑两解．[误区警示]◎已知椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m＞0)，并且焦距为6，求实数m的值．【错解一】∵2c＝6，∴c＝3，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又∵m＞0，故实数m的值为4.【错解二】∵2c＝6，∴c＝3，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故实数m的值为34.【错因】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解的原因是忽略了对椭圆的焦点位置的讨论．【正解】∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝34.综上，实数m的值为4或34.7三、巩固拓展●必做：教材第49页，习题2.1A组第1、2、3、5、6、7题●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程x225－m＋y2m＋9＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9＜m＜25B．8＜m＜25C．16＜m＜25D．m＞82．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x24＋y23＝1B.x24＋y2＝1C.y24＋x23＝1D.y24＋x2＝13．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是()A．6B.16C．24D.1244．椭圆x225＋y29＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1→·PF2→＝0，则△F1PF2的面积为()A．12B．10C．9D．8二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．6．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为________．三、解答题(每小题10分，共30分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.88．已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且PM→＝2MP′→，求点M的轨迹．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．