新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版)

1新课预习讲义选修2－1：第二章§2.3双曲线（一）§2.3.1双曲线及其标准方程●学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.●学习重点：1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点．2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的．●学习难点1.难点是双曲线的标准方程的推导．2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.一、自学导航●知识回顾：复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：椭圆的标准方程分哪两种不同形式？怎样区分？复习3：在椭圆的标准方程22221xyab中，,,abc有何关系？若5,3ab，则?c●预习教材：第52页——第55页的内容。●自主梳理：1.双曲线的定义是_________________________________________________2.双曲线的标准方程是_____________________________________________●预习检测：1．点F1，F2是两个定点，动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a(a为非负常数)，则动点P的轨迹是()A．两条射线B．一条直线C．双曲线D．前三种情况都有可能答案：D2．已知方程x24＋k－y24－k＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是()A．－4k4B．k0C．k≥0D．k4或k－4解析：∵x24＋k－y24－k＝1表示双曲线，∴(4＋k)(4－k)0，∴(k＋4)(k－4)0，∴－4k4.答案：A3．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是________．解析：依题意：a0，0a24，4－a2＝a＋2.解得a＝1.答案：124．求与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)的双曲线方程．解析：∵所求双曲线与x216－y24＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为(±25，0)设所求双曲线方程为x2a2－y220－a2＝1.∵双曲线经过点(32，2)，∴18a2－420－a2＝1，解得a2＝12.∴所求双曲线的方程为x212－y28＝1.●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：探究1：把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？探究2：根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？探究3：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a、b、c之间的关系有何不同？探究4：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？●基础知识归纳：1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距．反思（1）：设常数为2a，为什么2a12FF？2a12FF时，轨迹是；2a12FF时，轨迹．反思（2）：双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？2．双曲线的标准方程小结：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：1.焦点位置的判定：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定2.a、b、c之间的关系：椭圆是222bac，双曲线是222bac（记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有ac；双曲线焦点在顶点之外，所有ac）焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay焦点)0,(),0,(cc),0(),,0(cccba,,的关系222bac3●典例导析：题型一、求双曲线的标准方程例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A(4，－3)，B－3，52；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．[思路点拨]1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求a、b的值（注意应用222bac）；由定位条件确定焦点所在的位置.2.常用待定系数法.[解题过程](1)方法一：①当焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由于双曲线过点A(4，－3)，B－3，52，∴42a2－－32b2＝1，－32a2－522b2＝1.解得a2＝4，b2＝1.∴所求双曲线标准方程是x24－y2＝1.②当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．则3a2－16b2＝1，54a2－9b2＝1解得a2＝－1，b2＝－4.不合题意，舍去．综上所述，双曲线的标准方程是x24－y2＝1.方法二：设双曲线方程为mx2－ny2＝1，由双曲线经过A(4，－3)，B－3，52可得16m－3n＝1，9m－54n＝1.解得m＝14，n＝1.∴所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1∵c＝6，∴6＝a2＋b2①又∵双曲线经过点(－5,2)，∴－52a2－4b2＝1②由①②得：a2＝5b2＝1或a2＝30b2＝－24(舍)∴双曲线方程为x25－y21＝1.4[题后感悟]双曲线标准方程的求解步骤：变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上．(2)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．(3)焦点分别为F1(－10,0)、F2(10,0)，且经过点(35，－4)．(4)焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－42)和94，5.解析：(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为x29－y27＝1.(2)因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题设知，a＝25，且点A(2，－5)在双曲线上，所以a＝2525a2－4b2＝1，解得a2＝20，b2＝16.故所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.(3)由题设知双曲线的焦点在x轴上，且c＝10.所以可设它的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．从而将双曲线的标准方程化为x2100－b2－y2b2＝1，将点(35，－4)代入并化简整理，得b4－39b2－1600＝0，解得b2＝64或b2＝－25(舍去)，故所求双曲线的标准方程为x236－y264＝1.(4)由已知可设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则32a2－9b2＝125a2－8116b2＝1，解得a2＝16b2＝9∴双曲线的方程为y216－x29＝1.5题型二、双曲线定义的应用例2－1、已知定点F1(0，－4)，F2(0,4)，动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线[解题过程]由已知，|F1F2|＝8.当a＝3时，|MF1|－|MF2|＝6|F1F2|，故点M的轨迹是双曲线的一支当a＝4时，|MF1|－|MF2|＝8＝|F1F2|，故点M的轨迹是一条射线F1F2答案：D[题后感悟]如何判断动点的轨迹？(1)由已知条件，判断2a与|F1F2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等；(2)再据|MF1|－|MF2|＝2a有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征．变式训练：2－1.已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为A．y＝0B．y＝0(x≤－13或x≥13)C．x＝0(|y|≥13)D．以上都不对答案：C例2－2、若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．[思路点拨][规范作答]由双曲线方程x29－y216＝1，可知a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.[题后感悟]在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．变式训练：2－2.设F1，F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．解析：在双曲线x24－y2＝1中，a2＝4，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5，∴a＝2，c＝5.由于点P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝±4.①∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.②6②－①2得，2|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝2，∴△F1PF2的面积是S＝12|PF1||PF2|＝1.（想一想：若改为“∠F1PF2＝60°”呢？）题型三、求与双曲线相关的轨迹方程例3、求与两个定圆C1：x2＋y2＋10x－24＝0和C2：x2＋y2－10x＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程．[思路点拨][解题过程]⊙C1：(x＋5)2＋y2＝49⇒C1(－5,0)，r1＝7，⊙C2：(x－5)2＋y2＝1⇒C2(5,0)，r2＝1，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，(1)如图①，当⊙M与⊙C1、⊙C2都外切时，有|MC1|＝r1＋R，|MC2|＝r2＋R，则|MC1|－|MC2|＝r1－r2＝6.(2)如图②，当⊙M与⊙C1、⊙C2都内切时，有|MC1|＝R－r1，|MC2|＝R－r2.，则|MC1|－|MC2|＝r2－r1＝－6.在(1)(2)两种情况下，点M与两定点C1、C2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M的轨迹是以C1(－5,0)，C2(5,0)为焦点实轴长为6的双曲线，c＝5，a＝3⇒b＝c2－a2＝52－32＝4，方程为：x29－y216＝1.[题后感悟](1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．(2)由于动点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线．变式训练：4．如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解析：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.∵sinB－sinA＝12sinC，∴b－a＝c2.从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.所以顶点C的轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．[疑难解读]1．双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．7若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．(2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|