利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组一、问题描述在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。二、算法基本思想牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。下面我们具体讨论线性化过程：令：0000,,2121nnxxxxxfxfxfxF（3-1）则非线性方程组（3-2）0,,,0,,,0,,,21212211nnnnxxxfxxxfxxxf（3-2）可写为向量形式0xF（3-3）0xF成为向量函数。设knkkxxx,,,21是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在knkkxxx,,,21处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组0,,,,,,0,,,,,,0,,,,,,1212112122121211211kjnjknkknknkknkjnjknkkknkkkjnjknkkknkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxxxxfxxxf（3-4）这是关于nixxxkiiki,,2,1的线性方程组，如果它的系数矩阵nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111（3-5）非奇异，则可解得nnnnnnnknkkfffxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxx21121222121211121（3-6）矩阵（3-5）称为向量函数xF的Jacobi矩阵，记作xF'。又记nixxxkikiki,,2,11（3-7）则式（3-6）可写为kkkxFxFx1'（3-8）或kkkkxFxFxx1'1（3-9）称式（3-9）为求解非线性方程组（3-2）的牛顿迭代法，而线性方程组（3-4）称为牛顿方程组。三、算法描述（1）在真实根x附近选取一个近似根x1；（2）通过x1求出f(x1)。（3）过f(x1)作f(x)的切线，交x轴于x2。假设x1，x2很接近，可以用公式求出x2。由于2111')()(xxxfxf故)()(1'112xfxfxx（4）通过x2求出f(x2)；（5）再过f(x2)作f(x)的切线交x轴于x3；（6）再通过x3求出f(x3)，…一直求下去，直到接近真正的根。当两次求出的根之差|xn+1-xn|≤ε就认为xn+1足够接近于真实根。牛顿迭代公式是：)()('1nnnnxfxfxx程序流程图：运行NT程序→求非线性方程组的雅克比矩阵→代入牛顿迭代公式→输出解四、举例例：是用牛顿迭代法求解下列方程组：0401223212231xxxxx(4-1)初始值为)5.1,6.1(),()0(2)0(1xx。运行Newton程序得：6593.12366.1)2(2)2(1xx6615.12343.1)3(2)3(1xx6615.12343.1)4(2)4(1xx所以取迭代次数为3，且可取（1.2343，1.6615）为非线性方程组（4-1）的近似解。五、心得体会：通过学习，我们认识到牛顿迭代法是求解非线性代数方程组的一种简单而有效的方法。我们通过将非线性代数方程组的系数矩阵求导来使方程组线性化，从而求得方程组的近似解。牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但每次都要求导，求逆，计算量大。在这段学习的过程中，感谢王老师给予我们耐心而清晰的讲解，使我们掌握了一些数值分析的基本方法，学有收获。我感到这些数学方法在我们今后的实际工作和学习中有非常重要的作用。因此，再次感谢老师给予的帮助！