初三上学期圆知识点和典型基础例题复习

知人善教培养品质引发成长动力第1页共19页第三章：圆一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）如图所示，以A，B为端点的弧记做AB，读作：“圆弧AB”或者“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弦CD是⊙O的一条直径；【典型例题】例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个例2．点P到⊙O上的最近距离为cm3，最远距离为cm5，则⊙O的半径为cm．二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rdrrddCBAO知人善教培养品质引发成长动力第2页共19页四、圆与圆的位置关系考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现．题目常与图案、方程、坐标等进行综合外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（）A.5B.1C.1或5D.1或42、若两圆半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d，且R2＋d2－r2＝2Rd，则两圆的位置关系是（）A.内切B.外切C.内切或外切D.相交3.若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是_______________。【变式训练】1、⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，圆心距O1O2＝5，那么两圆的位置关系是（）A.外离B.内含C.外切D.外离或内含2、如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个3、已知：⊙O1和⊙O2的半径是方程x2－5x＋6＝0的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A.相交B.外离C.外切D.内切图3rRd图1rRd图2rRd图4rRd图5rRd知人善教培养品质引发成长动力第3页共19页二、填空题4.⑴⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则⊙O2的半径为__________;⑵⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则⊙O2的半径为__________5.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1，⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3圆心距d的取值范围是_____。五、垂径定理考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论1：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD例1、如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为()A．2B．3C．4D．5例2、如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上异于A、B的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3＜OM＜5D.4＜OM＜5OEDCBAOCDABABMO知人善教培养品质引发成长动力第4页共19页例3、如图，在⊙O中，有折线OABC，其中8OA，12AB，60BA，则弦BC的长为（）。Ａ．19Ｂ．16Ｃ．18Ｄ．20【变式训练】1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12．5寸B．13寸C．25寸D．26寸2、在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．3、如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为()A．2cmB．14cmC．2cm或14cmD．10cm或20cmFEOCBA知人善教培养品质引发成长动力第5页共19页六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧DE七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（90的圆周角所对的弦是直径）；即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C∴90C∴AB是直径例1、如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○C．30○D．15○2、如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.CBAODCBAOCBAOFEDCBAO知人善教培养品质引发成长动力第6页共19页【变式训练】1.如图，在⊙O中，弦AB=1.8m，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm．2.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______3.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）4.⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离．八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BDDAEC例1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°EDCBA知人善教培养品质引发成长动力第7页共19页2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°九、切线的性质与判定定理考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现．题目经常与翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现．（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的直径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。例1.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○B．50○C．65○D．130○2、如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．NMAO知人善教培养品质引发成长动力第8页共19页3、已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．(10分)求证：（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．FEDCBAO知人善教培养品质引发成长动力第9页共19页图7图8图4ODABCＯＡＢ图5图6ACDOB课后习题：1.已知一个圆的半径为3cm,另一个圆与它相切，且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是（）A5cmB1cmC5cm或1cmD不能确定2.下列说法不正确的是（）A直径所对的圆周角是直角B圆的两条平行弦所夹的弧相等C相等的圆周角所对的弧相等D相等的弧所对的圆周角相等3.已知⊙O1、⊙O2的半径分别是12r、24r，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（）．A、2B、4C、6D、84.高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）A．5B．7C．375D．3775.如图5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cmB．3cmC．23cmD．25cm6.已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．7.如图6，AB为⊙O的直径，点CD，在⊙O上，50BAC，则ADC．8.如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝.9.如图8，⊙O中，MAN⌒的度数为320°，则圆周角∠MAN＝___________10．如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．ABCDEF图12O知人善教培养品质引发成长动力第10页共19页11、如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。（1）求证：ACO=BCD。（2）若EB=8，CD=24，求⊙O的直径。12.如图，⊙O的直径AB=10，DE⊥AB于点H，AH=2．（1）求DE的长；（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC=225，求PD的长．EDBAOC知人善教培养品质引发成长动力第11页共19页附加基础题：1．下列五个命题:(1)两个端点能够重合的弧是等弧；(2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分；(3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形；(5)三角形的外心到各顶点距离相等.其中真命题有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图1，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（）．A．30°B．40°C．50°D．60°3．O是△ABC的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（）．A．100°B．120°C．130°D．160°4．如图2，△ABC的