高中圆的基本性质与点圆关系-知识点及试题答案

1高中圆的基本概念与点圆关系知识点与答案解析第一节圆的基本概念1.圆的标准方程：222()()xaybr-+-=（圆心(,)ab，半径为r）例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x2+(y+3)2=2；（2）(x+2)2+(y–1)2=a2(a≠0)例2圆心在直线x–2y–3=0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.例3已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2.圆的一般方程：220xyDxEyF++++=（其中2240DEF+-），圆心为点)2,2(ED——，半径2422FEDr—（Ⅰ）当2240DEF+-=时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22DE--（Ⅱ）当2240DEF+-时，方程不表示任何图形。例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，∴0)83(44)2(22kk，解得14kk或∴当14kk或时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m的值是＿＿＿。答案：－3例3：求经过三点A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）的圆的方程。解：设所求圆的方程为022FEyDxyx，A（1，－1）、B（1,4）、C（4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得220241742FEDFEDFED，解得D＝－7，E＝－3，F＝2∴所求圆的方程为023722yxyx。例4：若实数yx,满足042422yxyx，则22yx的最大值是__________。解：由042422yxyx，得9)1()2(22yx∴点P(x,y)在以（－2,1）为圆心，半径r=3的圆C上，5)10()20(||22OC，∴原点到圆上的点P(x,y)之间的最大距离为｜OC｜＋r＝5＋3∴22yx的最大值为5614)35(2。3.圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0。②没有xy这样的二次项。(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。(3)与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。4.圆的一般方程变形如果220AxBxyCyDxEyF+++++=是圆，一定有（1）A=C0；（2）B=0；（3）D2+E2-4AF0。反之，也成立。例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。()()222214441290244412110xyxyxyxy+-++=+-++=例2：方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时,m的取值范围是（D）3A.114mB.1mC.14mD.14m或1m例3：如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时圆心坐标为（）A.（-1，1）B.（1，-1）C.（-1，0）D.（0，-1）例4：圆0sin2cos222ayaxyx的圆心坐标为，半径为.例5：方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆。1：求实数m的范围。2：求该圆半径r的范围。3：求圆心C的轨迹的普通方程。解：(1)方程表示圆的充要条件是2240DEF+-，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)0，解之得-71m1.(2)2422FEDr—，得到r的取值范围(3)设圆心为(x，y)，则消去m得：y=4(x-3)2-1，∵-71m1，∴720x4，即轨迹为：y=4(x-3)2-1(720x4)。例6：已知实数yx,满足等式9)3()4(22yx，求yx的最值。4第二节点与圆的关系1.点00(,)Mxy与圆222()()xaybr-+-=的关系的判断方法（1）2200()()xayb-+-2r，点在圆外（2）2200()()xayb-+-=2r，点在圆上（3）2200()()xayb-+-2r，点在圆内例1：ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC--求它的外接圆的方程。解析：用待定系数法确定abr、、三个参数。例2：已知圆经过点(1,1)A和(2,2)B-,且圆心在:10lxy-+=上,求圆的标准方程。解析：圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2,2)B-,由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。例3：写出圆心为(2,3)A半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)MM是否在这个圆上。2.圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r相等。例1：求x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程解析：圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1，圆心O(-2,6)，半径为1。设圆心关于直线的对称点O'(a,b)，OO'和直线3x-4y-5=0对称，因此有：解得所求圆的方程为223226()()155xy-++=。3.与圆有关的轨迹方程5方法一：代入转移求轨迹方程的轨迹方程。的中点求线段上运动在圆端点的端点已知线段MAByxABAB,4)1(),3,4(22如：方法二：参数法求轨迹方程求圆心的轨迹方程。。表示的曲线是不同的圆——方程取不同的非零实数时，当03322222aayaxyxa方法三：充分利用韦达定理如：设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足OP·OQ=0，求直线PQ的方程。解：曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1。∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）0，得2－32b2+32。由韦达定理得x1+x2=－（4－b），x1·x2=2162bb—。y1·y2=b2－b（x1+x2）+x1·x2=2162bb—+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0.解得b=1∈（2－32，2+32）。∴所求的直线方程为y=－x+1。4.圆中的最值思想（1）形如ybmxa-=-的最值问题，转化为动直线斜率的问题；（2）形如m=ax+by的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；（3）形如m=(x-a)2+(y-b)2最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。如：已知点P（x,y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点。6（1）求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求21yx--的最大值和最小值。解：（1）圆心C（-2,0）到到直线3x+4y+12=0的距离为：223*(2)4*0126534d|-++|==+∴所以P到直线距离的最大值为d+r=65+1=115,最小值为d-r=65-1=15。（2）设t=x-2y,∵直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点∴圆心到直线的距离小于等于半径（3）设21ykx-=-，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点∴圆心到直线的距离小于等于半径