2018高考文科数学复习不等式

数学E单元不等式E1不等式的概念与性质5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷]已知x，y∈R，且xy0，则()A.1x－1y0B．sinx－siny0C.12x－12y0D．lnx＋lny05．C[解析]选项A中，因为xy0，所以1x1y，即1x－1y0，故结论不成立；选项B中，当x＝5π6，y＝π3时，sinx－siny0，故结论不成立；选项C中，函数y＝12x是定义在R上的减函数，因为xy0，所以12x12y，所以12x－12y0；选项D中，当x＝e－1，y＝e－2时，结论不成立．8．B7，B8，E1[2016·全国卷Ⅰ]若ab1，0c1，则()A．acbcB．abcbacC．alogbcblogacD．logaclogbc8．C[解析]根据幂函数性质，选项A中的不等式不成立；选项B中的不等式可化为bc－1ac－1，此时－1c－10，根据幂函数性质，该不等式不成立；选项C中的不等式可以化为ablogaclogbc＝logcblogca＝logab，此时ab1，0logab1，故此不等式成立；选项D中的不等式可以化为lgclgalgclgb，进而1lga1lgb，进而lgalgb，即ab，故在已知条件下选项D中的不等式不成立．E2绝对值不等式的解法1．A1，E2[2016·北京卷]已知集合A＝{x||x|2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝()A．{0，1}B．{0，1，2}C．{－1，0，1}D．{－1，0，1，2}1．C[解析]集合A＝{x||x|2}＝{x|－2x2}，B＝{－1，0，1，2，3}，所以A∩B＝{－1，0，1}．1．E2[2016·上海卷]设x∈R，则不等式|x－3|1的解集为________．1．(2，4)[解析]由题意得－1x－31，解得2x4，故不等式的解集为(2，4)．E3一元二次不等式的解法1．A1，E3[2016·全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2x－30}，则A∩B＝()A．(－3，－32)B．(－3，32)C．1，32D.32，31．D[解析]集合A＝(1，3)，B＝(32，＋∞)，所以A∩B＝(32，3).E4简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题12．E5、H2[2016·江苏卷]已知实数x，y满足x－2y＋4≥0，2x＋y－2≥0，3x－y－3≤0，则x2＋y2的取值范围是________．12.45，13[解析]可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2为可行域中任一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x2＋y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB2＝22＋32＝13.2．E5[2016·北京卷]若x，y满足2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为()A．0B．3C．4D．52．C[解析]画出可行域，如图中阴影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z＝2x＋y变为y＝－2x＋z，当目标函数的图像过点A(1，2)时，z取得最大值4，故2x＋y的最大值是4.16．E5[2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．16．216000[解析]设生产产品A、产品B分别为x件、y件，利润之和为z元，则1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N，即3x＋y≤300，10x＋3y≤900，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N，目标函数为z＝2100x＋900y.作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域．由图可知当直线z＝2100x＋900y经过点M时，z取得最大值．解方程组10x＋3y＝900，5x＋3y＝600，得M的坐标为(60，100)，所以当x＝60，y＝100时，zmax＝2100×60＋900×100＝216000.13．E5[2016·全国卷Ⅲ]若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________．13.32[解析]可行域如图所示．联立x－2y＝0，x＋2y－2＝0，得A（1，12），当直线z＝x＋y过点A时，z取得最大值，所以zmax＝1＋12＝32.7．A2，E5[2016·四川卷]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．A[解析]如图，(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆及其内部；y≥x－1，y≥1－x，y≤1②表示△ABC及其内部．实数x，y满足②，则必然满足①，反之不成立.故p是q的必要不充分条件．4．E5[2016·山东卷]若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．124．C[解析]可行域如图所示，设z＝x2＋y2，联立x＋y＝2，2x－3y＝9，得x＝3，y＝－1，由图可知，当圆x2＋y2＝z过点(3，－1)时，z取得最大值，即(x2＋y2)max＝32＋()－12＝10.2．E5[2016·天津卷]设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，2x＋3y－6≥0，3x＋2y－9≤0，则目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．172．B[解析]可行域如图所示，由图可知，当直线z＝2x＋5y过点(3，0)时，z＝2x＋5y取得最小值6.3．E5[2016·浙江卷]在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域x－2≤0，x＋y≥0，x－3y＋4≥0中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()A．22B．4C．32D．63．C[解析]易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故|AB|＝|MN|，易得M(－1，1)，N(2，－2)，则|MN|＝32，故|AB|＝32.E6基本不等式2abab14．C8、E6[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．14．8[解析]方法一：∵sinA＝2sinBsinC，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同除以cosBcosC，可得tanB＋tanC＝2tanBtanC，tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－tanB＋tanC1－tanBtanC·tanBtanC＝2（tanBtanC）2tanBtanC－1，由三角形为锐角三角形得tanB0，tanC0，tanA＝tanB＋tanCtanBtanC－10，即tanBtanC－10.令tanBtanC－1＝t(t0)，则tanAtanBtanC＝2（t＋1）2t＝2t＋1t＋2≥8，当t＝1，即tanBtanC＝2时取等号．方法二：同方法一可得tanB＋tanC＝2tanBtanC，又tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋(1－tanBtanC)·tan(B＋C)＝tanA－tanA＋tanAtanBtanC＝tanAtanBtanC，所以tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥22tanAtanBtanC⇒tanAtanBtanC≥8，当且仅当tanA＝2tanBtanC＝4时取等号．9．B7，E6[2016·四川卷]设直线l1，l2分别是函数f(x)＝－lnx，0x1，lnx，x1图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A．(0，1)B．(0，2)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)9．A[解析]不妨设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中0x11x2.由l1，l2分别是点P1，P2处的切线，且f′(x)＝－1x，0x1，1x，x1，得l1的斜率k1＝－1x1，l2的斜率k2＝1x2.又l1与l2垂直，且0x1x2，所以k1·k2＝－1x1·1x2＝－1⇒x1·x2＝1，l1：y＝－1x1(x－x1)－lnx1①，l2：y＝1x2(x－x2)＋lnx2②，则点A的坐标为(0，1－lnx1)，点B的坐标为(0，－1＋lnx2)，由此可得|AB|＝2－lnx1－lnx2＝2－ln(x1·x2)＝2.联立①②两式可解得交点P的横坐标xP＝2－ln（x1x2）x1＋x2＝2x1＋x2，所以S△PAB＝12|AB|·|xP|＝12×2×2x1＋x2＝2x1＋1x1≤1，当且仅当x1＝1x1，即x1＝1时，等号成立．而0x11，所以0S△PAB1，故选A.10．E6[2016·上海卷]设a0，b0.若关于x，y的方程组ax＋y＝1，x＋by＝1无解，则a＋b的取值范围是________．10．(2，＋∞)[解析]将方程组中的第一个方程化为y＝1－ax，代入第二个方程整理得(1－ab)x＝1－b，该方程无解应该满足1－ab＝0且1－b≠0，所以ab＝1且b≠1，所以由基本不等式得a＋b2ab＝2，故a＋b的取值范围是(2，＋∞)．E7不等式的证明方法E8不等式的综合应用21．B11，B12，E8[2016·四川卷]设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞1x－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．21．解：(1)f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x0)．当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a0时，由f′(x)＝0，有x＝12a，此时，当x∈（0，12a）时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈（12a，＋∞）时，f′(x)0，f(x)单调递增．(2)令g(x)＝1x－1ex－1，s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.而当x1时，s′(x)0，所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．又s(1)＝0，所以当x1时，s(x)0，从而当x1时，g(x)0.当a≤0，x1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx0，故当f(x)g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a0.当0a12时，12a1.由(1)有f（12a）f(1)＝0，而g（12a）0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a≥12时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．当x1时，h′(x)＝2ax－1x＋1x2－e1－xx－1x＋1x2－1x＝x3－2x＋1x2x2－2x＋1x20.因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h(1)＝0，所以当x1时，h(x)＝f(x)－g(x)0，即f(x)g(x)恒成立．综上，a∈[12，＋∞).E9单元综合8．E9[2016·浙江卷]已知实数a，b，c.()A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2100B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2100C