江苏省泰州中学2019届高三上学期期中考试-数学

·1·江苏省泰州中学2019学年度高三年级上学期期中考试数学试题（2019.11.5）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合},1{},2,0{2aBA，若}4,2,1,0{BA，则实数a=2.若4sin,tan05，则cos.3.写出命题：“,sinxRxx”的否定：4.幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过(3,3)，则f(x)的解析式是．5.若a+a-1=3，则2121aa的值为6.函数22()21fxxaxa的定义域为A，若2A，则a的取值范围为．7.已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x的取值范围是．8.设数列{}na是首相大于零的等比数列,则“21aa”是“数列{}na是递增数列”的_____条件．9.若向量(,2),(3,2)axxbx，且,ab的夹角为钝角，则x的取值范围是510.已知函数)(log221aaxxy在区间]2,(上是增函数，则实数a的取值范围是.11.给出下列命题：①存在实数x，使得3cossinxx；②函数xy2sin的图象向右平移4个单位，得到)42sin(xy的图象；③函数)2732sin(xy是偶函数；④已知,是锐角三角形ABC的两个内角，则cossin。其中正确的命题的个数为12.已知点O为△ABC的外心，且4AC，2AB，则AOBC的值等于．13.数列na中,111,()211nnnnaaanNnna，则数列na的前2012项的和为.14.已知定义在R上的函数fx满足12f，1fx，则不等式221fxx的解集为_.·2·二、解答：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．16.（本小题满分14分）在ABC中，角,,ABC的对边长分别为,,abc，ABC的面积为S，且22243()Sbca（1）求角A；（2）求值：00cos(80)[13tan(10)]AA17.（本小题满分14分）设函数22111()log()2122xfxxxx或.(1)证明:()fx是奇函数;(2)求()fx的单调区间;(3)写出函数221()log23xgxx图象的一个对称中心.18.（本小题满分16分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？（2）年销售量关于x的函数为)352(32402xxy，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？·3·19.（本小题满分16分）已知函数xaxxfln)(2(a为实常数).(1)若2a，求证：函数)(xf在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数)(xf在[1，e]上的最小值及相应的x值；(3)若存在],1[ex，使得xaxf)2()(成立，求实数a的取值范围.20.（本小题满分16分）设数列{}na、{}nb满足14a，252a，12nnnaba，12nnnnnabbab．（1）证明：2na，02nb（*nN）；（2）设32log2nnnaca，求数列{}nc的通项公式；（3）设数列{}na的前n项和为nS，数列{}nb的前n项和为nT，数列{}nnab的前n项和为{}nP，求证：83nnnSTP．2n江苏省泰州中学2019届高三期中考试数学参考答案与评分标准1．22.353.,sinxRxx4.12()fxx5.16.1a37.1(,10)108.充要；9.114(,)(,0)(,)33310.[22,222)11.3个12.613.2012201314.,11,·4·15.解：若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，∴02a－61，∴3a72，若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足Δ＝－3a2－42a2＋1≥0－－3a23f3＝9－9a＋2a2＋10，∴a≥2或a≤－2a2a2或a52，故a52，又由题意应有p真q假或p假q真．…………………………6分①若p真q假，则3a72a≤52，a无解．②若p假q真，则a≤3或a≥72a52，∴52a≤3或a≥72.………………………………………………6分故a的取值范围是{a|52a≤3或a≥72}．…………………14分16.(1)014sin32cos,tan3,0,602bcAbcAAAA………6分（2）原式=00000cos110cos20(13tan50)cos20cos60cos50o0002cos20(sin20)1sin40……………………14分17.(1)4分(2)单调增区间有11(,),(,)22……………6分(3)(1,0)……………4分18.解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），……2分·5·因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)yxxx(30.9)5000(10.4)xx即：21800150015000(01),yxxx…………………………6分由2180015001500015000xx，得506x………8分（2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232xxxxxxxf则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'xxxxxf……10分由,395,0)('xxxf或解得当)(,0)()95,0('xfxfx时，是增函数；当)(,0)()1,95('xfxfx时，是减函数.∴当95x时，20000)95()(fxf取极大值万元，……12分因为()fx在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，……14分所以当95x时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．……16分19.（1）当2a时，xxxfln2)(2，当),1(x，0)1(2)(2xxxf，故函数)(xf在),1(上是增函数．…………………………………………………4分（2）)0(2)(2xxaxxf，当],1[ex，]2,2[222eaaax．若2a，)(xf在],1[e上非负（仅当2a，x=1时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上是增函数，此时min)]([xf1)1(f．………………………………………………6分若222ae，当2ax时，0)(xf；当21ax时，0)(xf，此时)(xf是减函数；当exa2时，0)(xf，此时)(xf是增函数．故min)]([xf)2(af2)2ln(2aaa．若22ea，)(xf在],1[e上非正（仅当2e2a，x=e时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上·6·是减函数，此时)()]([minefxf2ea．……………………………………8分综上可知，当2a时，)(xf的最小值为1，相应的x值为1；当222ae时，)(xf的最小值为2)2ln(2aaa，相应的x值为2a；当22ea时，)(xf的最小值为2ea，相应的x值为e．……………………………………………………………………10分（3）不等式xaxf)2()(，可化为xxxxa2)ln(2．∵],1[ex,∴xx1ln且等号不能同时取，所以xxln，即0lnxx，因而xxxxaln22（],1[ex）………………………………………………12分令xxxxxgln2)(2（],1[ex），又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，…………………14分当],1[ex时，1ln,01xx，0ln22xx，从而0)(xg（仅当x=1时取等号），所以)(xg在],1[e上为增函数，故)(xg的最小值为1)1(g，所以a的取值范围是),1[．………………………16分20.（1）12nnnaba，12nnnnnabbab两式相乘得11nnnnabab，{}nnab为常数列，114nnabab；（2分）4nnba114()22nnnaaa；02nb；（若2na，则12na，从而可得}na为常数列与14a矛盾）；……………4分（2）32log2nnnaca，211333311222222logloglog2log21222222nnnnnnnnnnnnaaaaaccaaaaa·7·又因为11c，{}nc为等比数列，12nnc…………………8分（3）由12nnc可以知道，1111222231242212313131nnnnna，令12431nnd，数列{}nd的前n项和为nD，很显然只要证明83nD2n，222314nn．因为12431nnd222122224414313131nnnnd，nd222243131nn22122111444nnnddd所以nD123()ndddd2212111[1]444ndd22211124218218221134334314nnn所以823nSn．……………14分又4,2nnnabb，故4,2nnPnn且T，所以888224333nnnSTnnnP2n．…………………16分