江苏省无锡市2019届高三上学期期中考试数学试题-

无锡市2019届高三上学期期中考试数学试题一、填空题1.已知全集，集合则【答案】｛0，2，4｝【解析】【分析】根据集合补集与并集的定义求结果.【详解】.【点睛】本题考查集合补集与并集概念，考查基本求解能力，属基础题.2.函数的定义域为_______.【答案】（－∞，2）【解析】【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得结果.【详解】由题意得，即定义域为（－∞，2）.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力，属基础题.3.已知则实数【答案】【解析】【分析】根据指数与对数运算法则求解【详解】因为所以由得【点睛】本题考查指数与对数方程，考查基本求解能力，属基础题.4.设函数若则【答案】2【解析】【分析】根据关系求结果.【详解】因为，，所以，因为则【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力，属基础题.5.已知向量的夹角为，则的值为________.【答案】7【解析】【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义求结果.【详解】因为向量的夹角为，所以,因此【点睛】本题考查向量数量积以及向量模，考查基本求解能力，属基础题.6.若实数满足条件则的最大值为________.【答案】4【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最大值取法，即得结果.【详解】先作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时取最大值4.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.已知定义在区间上的函数的最大值为4，最小值为，则【答案】－【解析】【分析】根据正弦函数性质确定最值取法，再解方程组得a,b，即得结果.【详解】因为，,所以，,从而【点睛】本题考查正弦函数性质，考查基本求解能力，属基础题.8.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.【答案】（0,1］【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数在上单调递增，所以【点睛】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.9.已知则的值为_________.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简求值.【详解】令，则，【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本求解能力，属基础题.10.《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”荆州古城墙某处厚33尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第____天．（用整数作答）【答案】6【解析】由题意得11.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，且，则【答案】－【解析】【分析】根据向量表示得，再根据向量分解唯一性得，即得结果.【详解】因为是线段的中点，所以，因为点是线段上任意一点，所以可设,从而因为，所以－【点睛】本题考查向量表示，考查基本求解能力，属基础题.12.设为正实数，且，则的最小值为________.【答案】27【解析】【分析】先根据条件解得x,再化简，最后利用基本不等式求最值.【详解】因为，所以因此当且仅当时取等号，即的最小值为27.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.13.定义为个正数的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为又，则【答案】【解析】【分析】先根据定义得数列的前项的和，再根据和项与通项关系得，即得，最后根据裂项相减法求结果.【详解】因为数列的前项的“均倒数”为，所以，当时，作差得，因为，所以，,+=【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.14.已知函数在上的零点为，函数在上的零点为则的范围为_________.【答案】（1，）【解析】【分析】先求，并确定范围，进而确定，最后利用导数求单调性，根据单调性确定取值范围.【详解】由得,因为,所以,因此,因为从而，因此，令,,则,所以（1，）.【点睛】求范围或值域问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.二、解答题15.已知（1）若与垂直，求实数的值；（2）三点构成三角形，求实数的取值范围.【答案】(1)k＝－7(2)（－∞，5）U（5，＋∞）【解析】【分析】(1)根据向量垂直坐标表示列式，解得结果，(2)根据与不共线，列不等式，解得结果.【详解】（1）因为与垂直，所以，•＝0，即（5，－5）•（－6，k+1）＝0即：－30－5（k+1）＝0，解得：k＝－7（2）依题意，得A，B，C三点不共线，即与不共线，即5（k+1）≠30，解得：k≠5所以，实数的取值范围（－∞，5）U（5，＋∞）【点睛】本题考查向量垂直与平行，考查基本求解能力，属基础题.16.在四棱锥中，已知分别是的中点，若是平行四边形，(1)求证：平面(2)若平面，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)取PA中点E，根据平几知识可得四边形BMNE为平行四边形，再根据线面平行判定定理得结论，(2)先根据线面垂直判定定理得AC⊥平面PAB，即得AC⊥BE，再根据平行关系得结果.【详解】（1）取PA中点E，连结BE，NE因为N为PD中点，所以，EN∥AD，且EN＝AD，又M为BC中点，是平行四边形，所以BM∥AD，且BM＝AD，所以，BM∥EN且BM＝EN所以，四边形BMNE为平行四边形，所以，MN∥BE，而MN平面PAB，BE平面PAB所以，MN∥平面PAB。（2）∵∴AC⊥AB，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB，∵BE平面PAB，∴AC⊥BE由（1）知，BE∥MN，∴AC⊥MN【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.已知的三个内角的对边分别为，且（1）求角的值；（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理化为角的关系，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得，即得结果，(2)根据余弦定理以及基本不等式得AB•AD≤13，再根据三角形面积公式求最值.【详解】（1）因为由正弦定理，得：即化简，得：即：，所以，A＝。（2）因为BD为AC边上的中线，所以，S△ABC＝2S△ABD＝AB•AD×sin＝AB•AD又由余弦定理，得：BD2＝AB2+AD2－2AB•AD×cos＝AB2+AD2－AB•AD≥AB•AD所以，AB•AD≤13所以，S△ABC＝AB•AD≤×13＝当AB＝AD时，面积有最大值【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.有一块圆心角为120度，半径为的扇形钢板(为弧的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具，其下部为等腰三角形，上部为矩形.设五边形的面积为.（1）写出关于的函数表达式，并写出的取值范围；（2）当取得最大值时，求的值.【答案】(1)S＝R2sinα（4cosα－1）（0＜α＜）(2)【解析】【分析】(1)根据直角三角形解得矩形的长与宽以及等腰三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式求结果，最后根据实际意义确定的取值范围；(2)利用导数求函数最值.【详解】（1）如图，设OP与CD、AB交于M，N两点，为弧的中点，则M为CD中点，OP⊥AB，OM＝OCcosα＝Rcosα，CM＝OCsinα=Rsinα，则EF＝CD＝2CM＝2Rsinα∠POB＝∠AOB＝60°，∠OBN＝30°，所以，ON＝OB＝R，CF＝MN＝OM－ON＝Rcosα－R所以，S＝CD•CF+EF•ON＝2Rsinα×（Rcosα－R）+×2Rsinα×R＝R2sinα（4cosα－1）（0＜α＜）（2）设f（α）＝sinα（4cosα－1），则＝＝0因为0＜α＜，所以，由表可知，当S取得最大值时，【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.19.已知数列满足为正常数.（1）求证：对于一切恒成立；（2）若数列为等差数列，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)根据绝对值定义分类讨论，利用作差法证明结论，(2)先探求数列为等差数列的一个必要条件，再根据绝对值定义讨论，确定的取值范围.【详解】（1）＝＝当时，＝＝≥0当时，＝＝＞0当时，＝＝4＞0综上所述，≥0，所以，对于一切恒成立；(2)由（1）得，所以取正整数，则当时，有，由（1）得此时因此若数列为等差数列，则，当时，,所以,满足，因此当时,有，满足题意，当时，所以,矛盾，舍去，当时，当时,有，满足题意综上，的取值范围为【点睛】本题考查等差数列概念及其应用，考查分类讨论思想与综合分析求解能力，属难题.20.已知函数（1）若求曲线在处的切线方程；（2）若求函数的单调区间；（3）若求证：【答案】(1)(2)增区间(3)见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）先求导数，再利用导数研究导函数分子符号，进而确定单调性，（3）先根据条件确定函数单调性，再利用导数研究函数最大值的单调性，根据单调性确定最大值的最大值小于-1，即得结果.【详解】（1）当＝0时，，切点（1,0），切线的斜率：k＝所求的切线方程为：（2），则，当时，，当时，，所以因为，所以，即函数的单调增区间为，无减区间.(3)因为，所以由（2）得，因为，所以存在，使得，从而可得，设，则，即【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.