函数单调性和奇偶性专题

1、函数单调性和奇偶性专题一．知识点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义：一、函数单调性的定义及性质（1）定义对于给定区间I上的函数yfx，如果对任意12,xxI，当12xx，都有12fxfx，那么就称yfx在区间I上是增函数；当12xx，都有12fxfx，那么就称yfx在区间I上是减函数．与之相等价的定义：⑴12120fxfxxx，〔或都有12120fxfxxx〕则说()fx在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点1122,,,xfxxfx连线的斜率都大于（或小于）0。（2）函数的单调区间如果函数yfx在某个区间上是增函数（或减函数），就说()fx在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做该函数的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。单调性反映函数的局部性质。一个函数()fx在区间11,II上都是增函数，但它在区间22II上不一定是增函数。（3）判断单调函数的方法：①定义法，其步骤为：①在该区间上任取12xx，②作差。

2、12fxfx、化积、定号；②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；④复合函数单调性的根据：设,,,,,yfuugxxabumn都是单调函数，则yfgx在,ab上也是单调函数，其单调性是f与g单调性相同则yfgx是增函数，单调性相反则yfgx是减函数。⑤几个与函数单调性相关的结论：（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；（ⅱ）增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数。⑥如果yfx在某个区间D上是增函数（或减函数），那么.yfx.在区间D的任意一个子区间上也是增函数（或减函数）。（4）常见一些函数的单调性：①一次函数0ykxbk，当0k时，在,上是增函数；当0k时，在,上是减函数．②反比例函数0kykx，当0k时，在,0和0,上都是减函数；当0k时，在,0和0,上都是增函数．③二次函数20yaxbxca。

3、，当0a，在,2ba上是减函数，在,2ba上是增函数；当0a，在,2ba上是增函数，在,2ba上是减函数．④当1a时，xya和logayx在其定义域内为增函数，当01a，xya和logayx在其定义域内为减函数。二、奇偶性①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）二．经典例题剖析：（不带答案版）单调性:例1．（1）函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是______.（2）函数2()1fxx的单调区间_______；变式：（1）函数11yx的单调区间为（2）设函数f(x)＝1,00,01,0xxx，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．例2：（1）函数2()2(1)1fxxmx。

4、在(,1]上单调递减，则实数m的范围_______；（2）函数(0)ayxax在[2,)上单调递增，则实数a的范围_________。)(xfx)()(xfxf0)()(xfxf)(xf)(xfx)()(xfxf0)()(xfxf)(xfy变式：（1）已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是________.例3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则13f,32f,23f之间的大小关系是_______.例4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于______.例5：（1）用定义证明3()()fxxaaR在(,)上是减函数。变式：用定义证明函数()kfxxx(0)k在(0,)上的单调性。

5、。例6：已知函数2()(0afxxxx，常数aR）．若函数()fx在[2)x，上为增函数，求a的取值范围．变式：已知函数2()212fxxax在区间4,上是增函数，求实数a的范围。例7：设函数()(0)xafxabxb，判断()fx在其定义域上的单调性。例8：求2()log(352)afxxx（0a且1a）的单调区间。例9：设a为实数，函数2()||1fxxxa，xR，求()fx的最小值．奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：（1）31()fxxx（2）()|1||1|fxxx（3）23()fxxx（4）222,0()2,0xxxfxxxx（5）2(55)()4xxfxx变式：判断函数的奇偶性①1,0yxx②21yx③23yxx④2yx⑤21()22xfxx⑥1()11xfxxx⑦2223,0()23,0xxxfxxxx例2：已知()fx是偶函数，0x时，2()24fxxx，求0x时()fx的解析式.变式：。

6、已知()fx是奇函数，()gx是偶函数，且1()()1fxgxx，求()fx、()gx.例3：若()fx是偶函数，且在(,0)上增函数，又(3)0f，求()0fxx的解集。例4：（1）定义在(1,1)上的奇函数()fx是减函数，解关于a的不等式：2(1)(1)0fafa。（2）定义在[2,2]上的偶函数()fx在[0,2]上单调递减，且(1)()fmfm成立，求m的取值范围。变式：（1）定义在(1,1)上的偶函数，（0,1）上为增函数，且2(2)(4)0fafa成立，求a的取值范围。（2）定义在(1,1)上的奇函数()fx是减函数，且2(2)(4)0fafa成立，求a的取值范围。例5：已知函数()fx对任意,mnR都有()()()1fmnfmfn，并且当0x时，()1fx。（1）求证：()fx在R上是增函数；（2）若(3)4f,求满足条件2(5)2faa的实数a的取值范围。变式：（1）设函数()fx是定义在R上的奇函数，且在区间(,0)上是减函数。试判断函数()fx在区间(0,)上的单调性，并给予证明。（。

7、2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x20且x1x20，则f(x1)＋f(x2)的取值范围是___________.例6：已知函数f（x）=x+px+m（p≠0）是奇函数，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.变式：设a为实数，函数21fxxxaxR。（1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值三．经典例题剖析：（部分带答案版）单调性:例1．（1）函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是______.解由于f(x)＝|x－2|x＝222,22,2xxxxxx结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．（2）函数2()1fxx的单调区间_______；【分析】对函数2()1fxx，是由2yx向右平移1个单位得到，由反比例函数性质得，函数在,11,和上单调递增，特别注意：单调区间不能写成,11,，可举反例说明；【解】,11,和上单调递增；变式：（1）函数11yx的单调区间为（2）设函数f(x)＝1,00,01,0xx。

8、x，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．【解析】由题意知g(x)＝22,10,1,1xxxxx函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．例2：（1）函数2()2(1)1fxxmx在(,1]上单调递减，则实数m的范围_______；【分析】关于二次函数的单调性，注意看两个方面，即开口方向和对称轴，注意结合二次函数的图像解题.问题（1）中给定了函数在,1上单调递减，而图象开口向上，因此对称轴14mx应在,1的右边，从而1134mm；（2）函数(0)ayxax在[2,)上单调递增，则实数a的范围_________。【分析】函数(0)ayxax，由图象可知函数在0x的范围内，当0,xa递减，当,xa递增，由题意在2,上单调递增得204aa。变式：（1）已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称。

9、轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是________.【解析】题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=logau应为增函数，且u=2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴1,20.aa∴1＜a＜2.例3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则13f,32f,23f之间的大小关系是_______.【解析】由题设知，当x1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴132323fff例4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于______.【解析】32,21,()2,12,xxfxx。

10、xf(x)在定义域内都为增函数，所以最大值6。例5：用定义证明3()()fxxaaR在(,)上是减函数。【证明】设1x,2(,)x，且12xx，则333322121221211212()()()()().fxfxxaxaxxxxxxxx由于222221212123()024xxxxxxx，210xx，则2212211212()()()()0fxfxxxxxxx，即12()()fxfx，所以()fx在,上是减函数。变式：用定义证明函数()kfxxx(0)k在(0,)上的单调性。【证明】设1x、2(0,)x，且12xx，则121212()()()()kkfxfxxxxx1212()()kkxxxx211212()()xxxxkxx121212()()xxxxkxx121212()()xxkxxxx，又120xx，所以120xx，120xx，当1x、2(0,]xk时120xxk12()()0f。