数学分析3期末练习题三参考答案

110统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题三参考答案1.试求极限.42lim)0,0(),(xyxyyx解(,)(0,0)(,)(0,0)24limlim(24)xyxyxyxyxyxyxy(,)(0,0)11lim424xyxy.2.试求极限.)()cos(1lim222222)0,0(),(yxyxeyxyx解由222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)22sin1cos()2limlim()4()2xyxyxyxyxyxyxyxyxyee1002.3.试求极限.1sin1sin)(lim)0,0(),(yxyxyx解由于(,)(0,0)(,)(0,0)111111lim()sinsinlim(sinsinsinsin)xyxyxyxyxyxyxy,又2yx,所以(,)(0,0)11limsinsin0xyxxy，(,)(0,0)11limsinsin0xyyxy,所以(,)(0,0)11lim()sinsin0xyxyxy.4.试讨论.lim422)0,0(),(yxxyyx解当点),(yx沿直线xy趋于原点时，232424000limlim0xxyxxyxxyxx.当点),(yx沿抛物线线2yx趋于原点时，22424440001limlim2yyxyxyyxyyy.因为二者不等，所以极限不存在.25.试求极限.11lim2222)0,0(),(yxyxyx解由2222222222(,)(0,0)(,)(0,0)()(11)limlim11xyxyxyxyxyxyxy=22(,)(0,0)lim(11)2xyxy.6.),(xyyxfu,f有连续的偏导数，求.,yuxu解令,,xywyxv则ufvfwffyxvxwxvwufvfwffxyvywyvw7.,arctanxyz,xey求.dxdz解由'21()1()dzyxydxxy2221(1)()1()1xxxxxexexexexe.8.求抛物面222yxz在点)3,1,1(M处的切平面方程与法线方程。解由于4,2xyzxzy,在)3,1,1(M处,4)3,1,1(xz2)3,1,1(yz，所以,切平面方程为4(1)2(1)3xyz.即4230xyz法线方程为113421xyz.9.求5362),(22yxyxyxyxf在)2,1(处的泰勒公式.解由001,2,(1,2)5xyf(,)46,(1,2)0xxfxyxyf(,)23,(1,2)0yyfxyxyf(,)4,(1,2)4xxxxfxyf(,)1,(1,2)1xyxyfxyf(,)2,(1,2)2yyyyfxyf.3得22(,)52(1)(1)(2)(2)fxyxxyy.10.求函数)2(),(22yyxeyxfx的极值.解由于222222(2)(22)0xxxxfexyyeexyy22(1)0xyfey解得驻点)1,1(，222222(22),(22),2xxxxxxyxyyfexyyefeyfe22(1,1)0,(1,1)0,(1,1)2xxxyyyAfeBfCfe220,0ACBA所以)1,1(是极小值点,极小值为.2)1,1(2ef11.叙述隐函数的定义.答:设RX，RY，函数.:RYXF对于方程0),(yxF,若存在集合XI与YJ，使得对于任何Ix，恒有唯一确定的Jy，使得(,)xy满足方程0),(yxF,则称由方程0),(yxF确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数。一般可记为)(xfy.,JyIx且成立恒等式(,())0,.FxfxxI12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答:若(,)Fxy满足下列条件:（i）函数F在以0P),(00yx为内点的某一区域2RD上连续;（ii）0),(00yxF（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在连续的偏导数yxFy,;（iv）00,yxFy0,则在点0P的某邻域DPU)(0内，方程yxF,=0唯一地确定了一个定义在某区间),(00xx内的函数（隐函数）)(xfy，使得1º00yxf,),(00xxx时)())(,(0PUxfx且0)(,xfxF；42°xf在),(00xx内连续.13.叙述隐函数可微性定理的内容.答:若(,)Fxy满足下列条件:（i）函数F在以0P),(00yx为内点的某一区域2RD上连续;（ii）0),(00yxF（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在连续的偏导数yxFy,;（iv）00,yxFy0,又设在D内还存在连续的偏导数),(yxFx，则由方程0),(yxF所确定的隐函数在)(xfy在其定义域),(00xx内有连续导函数，且.),(),()('yxFyxFxfyx14.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答:设)(xfy在0x的某邻域内有连续的导函数'()fx，且00)(yxf;考虑方程.0)(),(xfyyxF由于0),(00yxF,1yF,000(,)'(),xFxyfx所以只要0'()0fx，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程(,)()0Fxyyfx能确定出在0y的某邻域)(0yU内的连续可微隐函数)(ygx，并称它为函数)(xfy的反函数.反函数的导数是11'().'()'()yxFgyFfxfx15.解:显然axyyxyxF3),(33及yxFF,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得03,2axyyxFy的点yx,附近，方程0333axyyx都能确定隐函数)(xfy；所以，它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于x的导数（其中y是x的函数）并以3除之，得22''0xyyayaxy,5或22'0.xayyaxy（1）于是22'.ayxyyax.02axy（2）再对（1）式求导，得：22'(2')'()''0,xayyyayyaxy即22''()2'2'2.yyaxayyyx（3）把（2）式代入（3）式的右边，得33322222(3)2'2'2.()axyxyxyaxyayyyxyax再利用方程就得到3232''.()axyyyax16.解:由于zyxzFFFFFF,,,,01)0,0,0(,0)0,0,0(处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(yxfz，且可求得它得偏导数如下：,31223xyzxyzFFxzzx.313223xyzyxzFFyzzy17.解:(1)令222(,,)3Fxyzxyzxyz,则有23,23,23xyzFxyzFyxzFzxy.由于0()0,,,xyzFPFFF均连续,且00()()10yzFPFP,故在点0(1,1,1)P附近由上述方程能确定隐函数(,)yyzx和(,)zzxy.(2)当0yF时,由定理知2323xxyFxyzyFyxz;6同理,当0zF时,由定理知2323xxzFxyzzFzxy.于是求得23312323(,(,),)22(23),23xxxfxyzxzffyyzxyzyxyzxyzyzyxz2322132223(,,(,))33(23).23xxxfxyzxyffzyzxyzzxyzxyzyzzxy并且有(1,(1,1),1)1xfy,(1,1,(1,1))2xfz.18.解:首先，,0)()(00pGPF即0P满足初始条件.再求出F，G的所有一阶偏导数,2,2,1,2vFuFFxFvuyx.1,1,,vuyxGGxGyG容易验算，在点0P处的所有六个雅可比行列式中只有.01144),(),(00PvxvxPGGFFvxGF因此，只有,xv难以肯定能否作为以,yu为自变量的隐函数.除此之外，在0P的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得),(),,(vuyyvuxx的偏导数，只需对方程组分别关于vu,求偏导数，得到,01,022uuuuxyyxyxxu（1）.01,022vvvvyxxyyxxv（2）由（1）解出.222,21222yxyuxyyxxuxuu7由（2）解出222122,.22vvxvxyvxyxyxy19.解:设2222(,,,)1Fxyuvuvxy,(,,,)Gxyuvuvxy.(1),FG关于vu,的雅可比行列式是22(,)2()11(,)uvFGuvuv,当uv时,在满足方程组的任何一点(,,,)xyuv的一个邻域内,由方程组可以唯一确定,uv是,xy的可微函数;(2),FG关于,xu的雅可比行列式是22(,)2()1(,)xuFGxuyyxu,当xuy时,在满足方程组的任何一点(,,,)xyuv的一个邻域内,由方程组可以唯一确定,xu是,yv的可微函数.20.解:设50),,(222zyxzyxF，222),,(zyxzyxG.它们在)5,4,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：,6xF,8yF,10zF,6xG,8yG,10zG和160),(),(zyGF，(,)120(,)FGzx，0),(),(yxGF.所以曲线在)5,4,3(处的切线方程为：0512041603zyx，即83(3)4(4)0,5.xyz法平面方程为0)5(0)4(3)3(4zyx，即034yx.21.解:令(,,)3zFxyzezxy,则(,,),(,,),(,,)1zxyzFxyzyFxyzxFxyze,故0001,2,0xyzMMMFFF,因此曲面在点0(2,1,0)M处的法向量为(1,2,0)n,所求切平面方程为1(2)2(1)0xy,即240xy.法线方程为21,120,xyz即230,0,xyz22.解:这个问题实质上就是要求函数222),,(zyxzyxf（空间点(,,)xyz到原点(0,0,0)的距离函数的平方）在条件022zyx及01zyx下的最大、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，令22222(,,,,)1Lxyzxyzxyzxyz.对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有9.01,0,02,022,02222zyxLzyxLzLyyLxxLzyx求得这方程组的解为,33117,3353与.32,231zyx（1）（1）就是拉格朗日函数),,,,(zyxL的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集1,),,(22zyxzyxzyx上连续，从而必存在最大值与最小值），故由1313,,2322f所求得的两个值