七年级周末培优2：利用绝对值的几何意义解题

第1页七年级周末培优2：利用绝对值的几何意义解题班级：姓名：号次：例题分析：例1已知a是有理数，|a－2017|+|a－2018|的最小值是________．.例2|x－2|－|x－5|的最大值是_______，最小值是_______．例3方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．例4若|x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．例5对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是___________．例6不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+y最大值与最小值．一．选择题（共3小题）1．若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．﹣2a和﹣2bB．a+1和b+1C．a+1和b﹣1D．2a和2b2．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．7B．5C．4D．13．下列结论错误的是（）A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0B．a＜b，b＞0，则a﹣b＜0C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0二．填空题（共8小题）4．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．5．若|m|=3，|n|=2且m＞n，则2m﹣n=．6．|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值是．7．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n=．8．若|a+1|+|a﹣2|=5，|b﹣2|+|b+3|=7，则a+b=．9．【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．【规律总结】观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是；若图3，是一个“幻方”，则a=．10．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“站台”．11．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2018在数轴上表示的数是．第2页三．解答题（共13小题）12．若|a|+|b|=4，且a=﹣1，求a﹣b的值．13．已知|a﹣1|=5，|b|=2，|a+b|≠a+b，求ab的值．14．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=．（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x=．（3）同样道理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是．15．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．（1）当x=秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是（用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．16．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．第3页17．已知：数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发．（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度．18．已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．（1）点A所对应的数是，点B对应的数是；（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．19．如图，点A、B都在数轴上，且AB=6（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t．20．观察下面的等式：﹣1=﹣|﹣+2|+3；3﹣1=﹣|﹣1+2|+3；1﹣1=﹣|1+2|+3；（﹣）﹣1=﹣|+2|+3；（﹣2）﹣1=﹣|4+2|+3回答下列问题：（1）填空：﹣1=﹣|5+2|+3；（2）已知2﹣1=﹣|x+2|+3，则x的值是；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．第4页22．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．23．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC=OB，求此时b的值；（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB=AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由．24．已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点．（1）点C表示的数是；（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，①点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；②当t=2秒时，求CB﹣AC的值；③试探索：CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．第5页七年级周末培优2：利用绝对值的几何意义解题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．﹣2a和﹣2bB．a+1和b+1C．a+1和b﹣1D．2a和2b【分析】若a，b互为相反数，则a+b=0，根据这个性质，四个选项中，两个数的和只要不是0的，一定不是互为相反数．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0．A中，﹣2a+（﹣2b）=﹣2（a+b）=0，它们互为相反数；B中，a+1+b+1=2≠0，即a+1和b+1不是互为相反数；C中，a+1+b﹣1=a+b=0，它们互为相反数；D中，2a+2b=2（a+b）=0，它们互为相反数．故选：B．【点评】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一对相反数的和是0．2．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．7B．5C．4D．1【分析】设下面中间的数为x，分别表示出相应的数，再根据每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，列出方程求解即可．【解答】解：设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x，8﹣3=5，8+x﹣3﹣6=x﹣1，8+x﹣2﹣（x﹣1）=7，5+6+7﹣7﹣3=8，如图所示：P+6+8=7+6+5，解得P=4．故选：C．【点评】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力．3．下列结论错误的是（）A．若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0B．a＜b，b＞0，则a﹣b＜0C．若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、若a＞0，b＜0，则a﹣b＞0正确，故本选项错误；第6页B、若a＜b，b＞0，则a﹣b＜0正确，故本选项错误；C、若a＜0，b＜0，则a﹣（﹣b）＜0正确，故本选项错误；D、若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a﹣b＞0错误，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了有理数的减法，要注意字母表示数的抽象性，熟记运算法则是解题的关键．二．填空题（共8小题）4．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是1．【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．【解答】解：①当x，y中有二正，=1+1﹣1=1；②当x，y中有一负一正，=1﹣1+1=1；③当x，y中有二负，=﹣1﹣1﹣1=﹣3．故代数式的最大值是1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．5．若|m|=3，|n|=2且m＞n，则2m﹣n=4或8．【分析】根据|m|=3，|n|=2且m＞n，可得：m=3，n=±2，据此求出2m﹣n的值是多少即可．【解答】解：∵|m|=3，|n|=2且m＞n，∴m=3，n=±2，（1）m=3，n=2时，2m﹣n=2×3﹣2=4（2）m=3，n=﹣2时，2m﹣n=2×3﹣（﹣2）=8故答案为：4或8．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．6．|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值是4．【分析】根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到﹣2，2和1距离的和，当x在﹣2和2之间的1时距离的和最小．【解答】解：|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|表示：数轴上一点到﹣2，2和1距离的和，当x在﹣2和2之间的1时距离的和最小，是4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，是解决本题的关键．7．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n=±1．第7页【分析】由于|m﹣n|+|p﹣m|=1，且m、n、p都是整数，那么只有两种情况：①|m﹣n|=1，p﹣m=0；②m﹣n=0，|p﹣m|=1；这两种情况都可以得出p﹣n=±1；从而求解．【解答】解：因为m，n，p都是整数，|m﹣n|+|p﹣m|=1，则有：①|m﹣n|=1，p﹣m=0；解得p﹣n=±1；②|p﹣m|=1，m﹣n=0；解得p﹣n=±1．综合上述两种情况可得：p﹣n=±1．故答案为：±1．【点评】本题主要考查了非负数的性质，根据已知条件求出p、n的关系式是解答本题的关键．8．若|a+1|+|a﹣2|=5，|b﹣2|+|b+3|=7，则a+b=±1或±6．【分析】先根据绝对值的性质分类讨论求得a、b的值，再分别代入a+b计算可得．【解答】解：当a≤﹣1时，﹣a﹣1+2﹣a=5，解得a=﹣2；当﹣1＜a＜2时，a+1+2﹣a=3≠5，舍去；当a≥2时，a+1+a﹣2=5，解得a=3；当b≤﹣3时，2﹣b﹣b﹣3=7，解得b=﹣