薄板弯曲问题

第一节有关概念及计算假定第二节弹性曲面的微分方程第三节薄板横截面上的内力第四节边界条件扭矩的等效剪力第五节四边简支矩形薄板的重三角级数解第六节矩形薄板的单三角级数解第七节矩形薄板的差分解第八节圆形薄板的弯曲第九节圆形薄板的轴对称弯曲习题的提示和答案例题教学参考资料第九章薄板弯曲问题§9-1有关概念及计算假定)2(z)0(z定义薄板是厚度板面尺寸的物体。薄板的上下平行面，称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面。第九章薄板弯曲问题比较薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用─薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用─平面应力问题；杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用─梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用─杆件的拉压问题；第九章薄板弯曲问题薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。特点第九章薄板弯曲问题当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面。小挠度薄板─这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：定义第九章薄板弯曲问题(3)在内力中，仅由横向剪力与横向荷载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度；sF第九章薄板弯曲问题1.垂直于中面的线应变可以不计。取，由，得故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。（直法线假设）本章研究小挠度薄板的弯曲问题。0zε0zwz).,(yxwwz根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：克希霍夫假设计算假定第九章薄板弯曲问题弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力z,和zyzxyxσσ,yxMM,xyxyM,)(~2bqzyzx,sxsyFF,),(~bq.~qz2.次要应力分量远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力，与梁相似，也分为三个数量级：第九章薄板弯曲问题∴为次要应力，为更次要应力。略去它们引起的形变，即得并在空间问题的物理方程中，略去引起的形变项。因此，当略去后，薄板弯曲问题的物理方程为)(.0,0azyzxzy,和xzz)()1(2),(1),(1bEσσEσσExyxyxyyyxxzyzx,zσzσ第九章薄板弯曲问题(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。说明：第九章薄板弯曲问题⑵薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。;,,xyyxNNNyxMM,xyM,,,xyyx第九章薄板弯曲问题⑶从计算假定1、2，得出故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。,0zyzxz第九章薄板弯曲问题因此，中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。)(0),(0cvuz,,,yuxvyvxuxyyx.0),,(0zxyyx由于故3.中面的纵向位移可以不计，即第九章薄板弯曲问题实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述三个计算假定，并应用这三个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。第九章薄板弯曲问题1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这三个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？思考题第九章薄板弯曲问题§9-2弹性曲面的微分方程本节从空间问题的基本方程出发，应用三个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。薄板问题解法第九章薄板弯曲问题薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：xyxxσσ,,xyxx,,zyzx,zσ4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。2.将其他未知函数─纵向位移u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量及最次要应力均用w来表示。1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。第九章薄板弯曲问题具体推导如下：1.取挠度为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，).,(,0yxwwzwεz),(yxww第九章薄板弯曲问题2.将，用表示。应用几何方程及计算假定2，∴对积分，又由计算假定3，故得：0,0zyzx.0,0ywzvxwzu).,(),,(21yxfzywvyxfzxwuz,0),(0zvu,021ff.,zywvzxwuuvw第九章薄板弯曲问题3.主要应变用表示。应用其余三个几何方程，并代入式(a)得：.2,,22222zyxwzywzxwxyyx(b)wxyxx,,第九章薄板弯曲问题.1),(1),(122222222222yxwEzxwywEzσywxwEzσxyyx4.主要应力用表示。应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：w(c)xyxxσσ,,第九章薄板弯曲问题5.次要应力用表示。应用平衡微分方程的前两式（其中纵向体力），有代入式(c)，并对z积分，得：,,xyσzyxσzxyyzyyxxzx0yxffwzyzx,),,()1(2),,()1(222221222yxFwyEzyxFwxEzzyzx,22222yx其中第九章薄板弯曲问题∵上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件0)(,0)(22zzyzzx)(.)4()1(2,)4()1(222222222dwyzEwxzEzyzx1F2F由此求出及，代入得到第九章薄板弯曲问题6.更次要应力用表示。应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入式(d)，并对z积分，得zσw.yτxτzyzzzx).,()34()1(234322yxFwzzEσz第九章薄板弯曲问题由下板面的边界条件求出，故更次要应力为,0)(2zzσ3F).()1()21()1(64223ewzzEσz第九章薄板弯曲问题7.导出求解w的基本方程。由上板面边界条件（属于静力平衡条件）得出在A域中求w的方程,)(2qσzz,4qwD)1(1223ED(f)(g)为薄板的抗弯刚度求w方程第九章薄板弯曲问题说明：⑴在三个计算假定下，纵向位移u,v；主要应变；主要应力；沿z向均为线性分布，在中面为0；次要应力（横向切应力）沿z向为抛物线分布；均与材料力学相似。更次要应力（挤压应力）沿z为三次曲线分布。zσ)0(zxyxx,,xyxxσσ,,zyzx,第九章薄板弯曲问题⑵按位移求解薄板弯曲问题，只取w为基本未知函数。在导出求w的基本方程中应用了三个计算假定，与材料力学解梁的弯曲问题相似。第九章薄板弯曲问题⑶从上述推导过程可见,空间问题的6个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分方程都已考虑并满足（其中应用了3个计算假定）；并且在的大边界（板面）上，三个应力边界条件也已精确满足。2z⑷只有板边的边界条件尚未考虑，它们将作为求解微分方程（f）的边界条件。第九章薄板弯曲问题思考题试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲问题的异同。第九章薄板弯曲问题§9-3薄板横截面上的内力)1(⑵在板边（小边界）上，要用内力的边界条件代替应力的边界条件。⑴薄板是按内力设计的；薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面上,由应力合成的主矢量和主矩。求薄板内力的目的：薄板内力第九章薄板弯曲问题求内力：取出的六面体，x面上，有应力，，y面上，有应力，，。其中，，=沿z为直线分布，在中面为0；，沿z为二次分布，方向∥横截面。yxddxσyσ;xzτyxτyzτxyτxσyσyxτxyτxzτyzτ第九章薄板弯曲问题x面面积上，应力的主矢量和主矩为：)1(xσxyτxzτ)(.d2222aywxwDzzσM2δ2δxx)(.1d2byxwDzzM2δ2δxyxy)(.d2cwxDzF2δ2δxysxx面内力─合成主矢量称为横向剪力,─合成主矢量为0,合成主矩称为扭矩,─合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩,第九章薄板弯曲问题类似地，求出y面面积上的内力：1)(.,)1(),(222222dwyDFyxwDMxwywDMsyyxyy面内力弯矩扭矩横向剪力内力的正负号规定，根据应力符号确定:正的应力方向的主矢量为正;正的应力×正的矩臂的力矩方向为正,如图。第九章薄板弯曲问题xMyMdxxMMxxdyyMMyyyxMxyMdxxMMxyxydyyMMyxyxSyFSxFdxxFFSxSxdyyFFSySyxyz内力符号第九章薄板弯曲问题.0,0;,0)(,,0)(qyFxFFxMyMFMyMxMFMsysxzxyysyxyxxsxy内力均为单位宽度上的主矢量和主矩，∴其量纲均应降低一次长度量纲。薄板内力是横截面上，应力向中面合成的主矢量和主矩。(e)(f)中面内力平衡条件考虑上图的中面平衡条件，可得：第九章薄板弯曲问题再将用w来表示，同样地得出挠曲线微分方程将前两式代入后式，得)(.0222222gqyMyxMxMyxyx.4qwDxyyxMMM,,第九章薄板弯曲问题§9－4边界条件扭矩的等效剪力薄板的边界条件：上下板面（大边界）已精确地满足了3个应力边界条件。边界条件第九章薄板弯曲问题qwD4板边为小边界，∴可以应用圣维南原理来简化边界条件,将板边的边界条件归结为中面的位移边界条件或中面的内力边界条件。板边（小边界）的边界条件尚未考虑,是求解挠曲线微分方程的边界条件。，可看成是中面的挠曲微分方程,或中面的平衡方程；边界条件第九章薄板弯曲问题薄板板边的边界条件分为三类：1.固定边─若为广义固定边，则),()(),()(2010yfxwyfwxx0x其中为给定的约束位移。若完全固定，则21,ff,021ff.0)(,0)(00xxxww固定边(a)第九章薄板弯曲问题2.简支边─若为广义简支边，则其中，分别为给定的约束位移和弯矩。若，则一般的简支边条件为0y),()(),()(4030xfMxfwyyy3f4f043ff.0)(,0)(00yyyMw简支边第九章薄板弯曲问题故第二个条件可以简化。∴简支边的条件为)(.0)(,0)(0220bywwyy,0)(0yw,0),(022yxwxw因简支边第九章薄板弯曲问题3.自由边─若为一般的自由边，则上式边界条件共有3个，与四阶微分方程不相对应。经过约二十年后，基尔霍夫指出，薄板板边上的扭矩可化为等效的横向剪力。by.0),,(bysyyxyFMM自由边第九章薄板弯曲问题第九章薄板弯曲问题在EF=dx微分段上，总扭矩，化为E、F上等效的一对力，分别向下（E）和向上（F）；xMyxdyxM在FG=dx微分段上，总扭矩，化为F、G上等效的一对力，分别向下（F）和向上（G）。xxxMMyxyx)dd()d(xxMMyxyx图中，取出板边AB（y面），扭矩的等效剪力第九章薄板弯曲问题在F点，合成集中力,