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当前位置:首页 > 电子/通信 > 综合/其它 > 自动控制原理第2章课后习题及解答
-12-第2章习题及解答2-1建立图2-32所示各机械系统的微分方程(其中)(tF为外力,)(tx、)(ty为位移;k为弹性系数,f为阻尼系数,m为质量;忽略重力影响及滑块与地面的摩擦)。图2-32系统原理图解.(a)以平衡状态为基点,对质块m进行受力分析(不再考虑重力影响),如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出22)()(dtydmdtdyftkytF=−−整理得)(1)()()(22tFmtymkdttdymfdttyd=++(b)如图解2-1(b)所示,取A,B两点分别进行受力分析。对A点有)()(111dtdydtdxfxxk−=−(1)对B点有ykdtdydtdxf21)(=−(2)联立式(1)、(2)可得:dtdxkkkykkfkkdtdy2112121)(+=++(c)如图解2-1(c)所示,取A,B两点分别进行受力分析。对A点有22)()(dtxdmyxktF=−−(3)-13-对B点有22)(dtydmyxk=−(4)联立式(3)、(4)消去中间变量x可得424222()dyKdyKFtdtmdtm+=2-2应用复数阻抗方法求图2-33所示各无源网络的传递函数。R1CR2ur(t)uc(t)RCur(t)uc(t)CRR2R1CLur(t)uc(t)(a)(b)(c)图2-33无源网络解.(a)应用复数阻抗概念可写出)()(11)(11sUsIcsRcsRsUcr++=(1)2()()cUsIsR=(2)联立式(1)、式(2),可解得CsRRRRCsRRsUsUrc212112)1()()(+++=微分方程为rrccuCRdtduuRCRRRdtdu121211+=++(b)由图解2-2(b)可写出[]1()()()()rRRCUsRIsIsIsCs=++(3)1()()()CRCIsRIsRIsCs=−(4)[]1()()()()CcRCUsIsRIsIsCs=++(5)图解2-1(c)图解2-2(b)-14-联立式(3)、式(4)、式(5),消去中间变量)(sIC和)(sIR,可得1312)()(222222++++=RCssCRRCssCRsUsUrc微分方程为rrrcccuRCdtduCRdtduuRCdtduCRdtdu222222221213++=++(c)由图解2-2(c)可写出[]11222()()()()()rUsRIsIsLsRIs=+++(6))()()(1221sIRLssICs+=(7))()(22sIRsUc=(8)联立式(6)、(7)、(8),消去中间变量)(1sI和)(2sI,可得)()()()(2121212RRsCRRLLCsRRsUsUrc++++=微分方程为2121222111cccrduduLRRCRRRuudtRLCdtRLCRLC++++=2-3证明图2-34(a)所示的力学系统和图2-34(b)所示的电路系统是相似系统(即有相同形式的数学模型)。图2-34系统原理图解(a)取A、B两点分别进行受力分析,如图解2-3(a)所示。对A点有)()()(1122yyfyxfyxk−=−+−(1)图解2-2(c)-15-对B点有1111)(ykyyf=−(2)对式(1)、式(2)分别取拉普拉斯变换,消去中间变量1y,整理后得)()(sXsY=1)(1)(12221122121221122121+++++++skfkfkfskkffskfkfskkff(b)由图可写出sCRsUc221)(+=112211()111rUsRCsRCsRCs⋅+++整理得)()(sUsUrc=1)(1)(21221122121221122121+++++++sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRR比较两系统的传递函数,如果设111kR=,221kR=,11fC=,22fC=,则两系统的传递函数相同,所以两系统是相似的。2-4如图2-35所示,二极管是一个非线性元件,其电流di和电压du之间的关系为140.02610(1)dudie−=−,假设电路在工作点(0)2.39uV=,3(0)2.1910iA−=×处做微小变化,试推导()ddifu=的线性化方程。解将3(0)2.1910iA−=×代入)1(10026.0/14−=−dudei解得Vud679.00=将)1(10026.0/14−=−dudei在(0du,0i)处展开为泰勒级数,并取一次近似,有duddueiiiid∆⋅⋅⋅+=∆+=−026.0/14000026.01100/0.026141100.0850.026dudddieuu−∆=⋅⋅⋅∆=⋅∆图解2-3(a)图2-35二极管电路-16-即在(0du,0i)附近)(ddufi=的线性化方程为0.085ddiu∆=⋅∆。2-5假设某容器的液位高度h与液体流入量rQ满足方程rQShSdtdh1=+α,式中S为液位容器的横截面积,α为常数。若h与rQ在其工作点),(00hQr附近做微量变化,试导出h∆关于rQ∆的线性化方程。解将h在0h处展开为泰勒级数并取一次近似hhhhdthdhhh∆⋅+=∆⋅+=00021|0(1)代入原方程可得)(1)21()(0000rrQQShhhSdthhd∆+=∆⋅++∆+α(2)在平衡工作点处系统满足000rdhShQdtα+=(3)式(2),(3)相减可得h∆的线性化方程rQhhdthdS∆=∆+∆02α2-6图2-36是一个单摆运动的示意图。图中,l为摆杆长度,θ为摆角,摆锤质量为m。试建立单摆系统的微分方程,并将其线性化。解由图2-36,根据牛顿定律,在不施加外力的情况下,可写出单摆的运动方程:222sin0dmlmgldtθθ+=,即22sin0dgdtlθθ+=将上式中非线性项θsin在平衡点00=θ附近进行泰勒级数展开,取一次近似有0000sinsinsin|sincosddtθθθθθθθθ=+⋅∆=+⋅∆将00=θ代入上式,得:0sinsinθθθ−=∆。代入原方程可得线性化后的单摆方程图2-36单摆系统-17-220dgdtlθθ∆+∆=2-7求图2-37所示各信号)(tx的像函数)(sX。图2-37信号图解(a))(2)(0tttx−+=)(sX=stess0212−+(b)11()11(1)(1)21(3)(3)22xttttt=⋅−+−−⋅−−−32211()()(2)22sseeXsssss−−=+−+(c))())(())(()(321ttcttcbttabatx−−−−−−−+=)(sX=])()([1321stststceecbeabas−−−−−−−+(d))(tx=)(4)2(4)2(442222TtTTtTTtTtT−+−−−−)21(4)(222TssTeesTsX−−+−=2-8求下列各拉普拉斯变换式的原函数。(1)1)(−=−sesXs(2)22()9Xss=+-18-(3))3()2(1)(3++=ssssX(4))22(1)(2+++=sssssX解(1)1)(−=tetx(2)原式=222333s⋅+ttx3sin32)(=(3)原式=32113112(2)4(2)8(2)243(3)sssss−+−++++++x(t)=24131834432222++−+−−−−−tttteeetet(4)原式=1)1(1211)1(12121222121222++⋅++++⋅−=++−ssssssss)(tx=)cos(sin2121ttet−+−2-9已知在零初始条件下,系统的单位阶跃响应为tteetc−−+−=221)(,试求系统的传递函数和脉冲响应。解单位阶跃输入时,有ssR1)(=,依题意ssssssssC1)2)(1(2311221)(⋅+++=+++−=)2)(1(23)()()(+++==ssssRsCsG[]tteessLsGLtk−−−−−=+++−==21142411)()(-19-2-10已知系统传递函数232)()(2++=sssRsC,且初始条件为1)0(−=c,0)0(=c,试求系统在输入)(1)(ttr=作用下的输出)(tc。解系统的微分方程为)(2)(2)(3)(22trtcdttdcdttcd=++(1)考虑初始条件,对式(1)进行拉普拉斯变换,得ssCssCssCs2)(23)(3)(2=++++(2)22141)23(23)(22+++−=++−+−=sssssssssC∴tteetc2241)(−−+−=2-11求图2-38所示各有源网络的传递函数)()(sUsUrc。图2-38有源网络解(a)根据运算放大器“虚地”概念,可写出12)()(RRsUsUrc−=(b)2211221211111()(1)(1)1()1crRUsCsRCsRCsUsRCsRCsRCs+++=−=−⋅+-20-(c))1(11)()(212122CsRRRRCsRCsRsUsUrc+−=+⋅−=2-12某位置随动系统原理框图如图2-39所示,已知电位器最大工作角度mQ=3300,功率放大器放大系数为3k。(1)分别求出电位器的传递函数0k,第一级和第二级放大器的放大系数1k,2k;(2)画出系统的结构图;(3)求系统的闭环传递函数()()crQsQs。图2-39系统原理框图解(1)电位器的传递函数0003018011330180mEkQππ===×根据运算放大器的特性,可分别写出两级放大器的放大系数为313301031010k×=−=−×,323201021010k×=−=−×(2)可画出系统结构如图解2-12所示:图解2-12系统结构图-21-(3)0123230123()(1)()11(1)mcmmtmrmmkkkkkQssTskkkkkkkkkQsTssTs+=++++22301230123111mmtmmTkkkksskkkkkkkkkk=+++2-13飞机俯仰角控制系统结构图如图2-40所示,试求闭环传递函数)()(sQsQrc。图2-40飞机俯仰角控制系统结构图解经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数68.0)42.018.1()7.09.0()6.0(7.0)()(23++++++=sKsKsssQsQrc2-14已知系统方程组如下,试绘制系统结构图,并求闭环传递函数)()(sRsC。=−=−=−−=)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111sXsGsCsGsGsCsXsXsXsGsXsGsXsCsGsGsGsRsGsX解系统结构图如图解2-14所示。利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为843217432154363243211)()(GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGsRsC−+++=-22-图解2-14系统结构图2-15试用结构图等效化简的方法,求图2-41所示各系统的传递函数)()(sRsC。图2-41系统结构图解结构图的集效化简分别如图解2-15(a)、(b)、(c)、(d)所示。(a)所以HGGGsRsC2211)()(−−=-23-(b)所以32132213211)()(GGGGGGGGGGsRsC+++=(c)所以2441321232121413211)()(HGGGGGGHGGHGGGGGGGsRsC++++++=-24-(d)所以2321212132141)()(HGGHGHGGGGGGsRsC++++=2-16试绘制图2-42所示系统的信号流图,求传递函数)()(sRsC。图2-42系统结构图解系统的信号流如图解2-16所示。图解2-16信号流图123434123212343()()1GGGGCsRsGGHGGHGGGGH=+++-25-2-17绘制图2-43所示信号流图对应的系统结构图,求传递函数51()()XsXs。图2-43系统信号流图解系统结构图如图解2-17所示。图解2-17系统结构图512233445122445122534434412332443443244332233244(
本文标题:自动控制原理第2章课后习题及解答
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