幂级数的收敛域..

§9.2函数项级数五、和函数的分析性质定理6（连续性）若函数项级数∑un(x)在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在I上也连续．在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即0011lim()lim().nnxxxxnnuxux§9.2函数项级数定理7（逐项求积分）若函数项级数∑un(x)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]可积，且11()d()d.bbnnaannuxxuxx定理8（逐项求导）若∑un(x)在I收敛，un(x)在[a,b]上有连续的导数，∑un′(x)在[a,b]上一致收敛，则其和函数在I连续可导，且.)(dd)(dd11nnnnxuxxux§9.3幂级数幂级数的收敛域幂级数的一般形式为20120()()()nnnayaaayaaya20120(1)nnnnnaxaaxaxax(),nnaya：则得最简形式的幂级数令,xay§9.3幂级数幂级数的收敛域定理1(阿贝尔第一定理)001)0nnnaxx若幂级数在收敛,00:||||nnnaxxxx则幂级数在都绝对收敛；一、幂级数的收敛域.00都收敛在首先，幂级数xxannn102)nnnaxx若幂级数在发散，10:||||nnnaxxxx则幂级数在都发散.§9.3幂级数幂级数的收敛域注由定理1知道:幂级数(1)的收敛域是以原点为中心的对称区间.若以2r表示区间的长度，则r称为幂级数的收敛半径.时，当r;0收敛幂级数仅在时，当0r;),(收敛幂级数在时，当r0,),(收敛幂级数在rr.散处，可能收敛也可能发至于rx§9.3幂级数幂级数的收敛域定理2(lim)nnnal则1(i)0,;lrl时此幂级数的收敛半径(ii)0,;lr时此幂级数的收敛半径(iii),0.lr时此幂级数的收敛半径，若对幂级数0nnnxalaannn||lim1§9.3幂级数幂级数的收敛域证0||,nnnax对于幂级数由于lim||lim||||||,nnnnnnnaxaxlx根据级数的根式判别法,当||1lx时,级数0||nnnax||1lx收敛.当时,级数发散.于是0l||1lx(i)当时,由得幂级数收敛半径1;rl0,lx当时对任何皆有||1,lx(ii)所以;r§9.3幂级数幂级数的收敛域,0lx当时则对除外的任x何皆有(iii)||1,0.lxr所以.211敛域的收敛半径，并讨论收、求幂级数例nnnxn,2:nann解,1211nann||lim1nnnaalnnnnn212lim1212limnnn.21r收敛半径为时，当21x;1)21(211发散nnnnnn时，当21-x收敛111)1()21(2nnnnnnn).21,21[收敛域为§9.3幂级数幂级数的收敛域.!121敛域的收敛半径，并讨论收、求幂级数例nnxn,!1:nan解,)!1(11nan||lim1nnnaal)!1(!limnnn011limnn.r收敛半径为.R收敛域为§9.3幂级数幂级数的收敛域.31敛域的收敛半径，并讨论收、求幂级数例nnnxn,:nnna解.0r收敛半径为}.0{收敛域为lim||nnnlalimnnnnlimnn§9.3幂级数幂级数的收敛域.)2(1412敛域的收敛半径，并讨论收、求幂级数例nnxn,12nan,)1(121nan||lim1nnnaal22)1(limnnn1.112rnynn收敛半径为时，当1y12121)1(1nnnnn,2yx解：设nnnnynxn12121)2(1时，当1y收敛.nnn)1(112收敛.21[1,1].nnyn收敛域为211(2)[1,3].nnxn收敛域为