运筹学讲义-天津大学研究生e-Learning平台

扩展DEA模型／Malmquist指数／区间分析一、扩展DEA模型DEA模型一个弱点就是计算得到的有效单元可能较多（效率评价值为1），若对这些有效单元继续进行评价，DEA模型是无能为力的。PerAnersen和NielsChristianPetersen于1993年提出一种超效率评价模型能够对DEA有效的单元进行排序。超效率评价模型同DEA模型数学形式相似，不同的是在进行第K个决策单元效率评价时，使第K个决策单元的投入和产出被其它所有的决策单元投入和产出的线性组合替代，而将第K个决策单元排除在外，而DEA的模型是将本单元包括在内的。一个有效的决策单元可以使其投入按比例的增加，而效率值保持不变，其投入增加比例即其超效率评价值。二、扩展DEA模型的数学形式传统DEA原始模型0,0,,2,11..max000uvnjXvYuhtsPVXuYuhPjTjTjjTjTj扩展DEA原始模型对第j0个决策单元进行效率评价。使用下面分式规划模型其中模型的变量为υ和u。0,0,,2,11..max0000uvjjnjXvYuhtsPVXuYuhPjTjTjjTjTj。传统DEA对偶规划D个变量为及1),,,(0,0,,,2,1,0..min)(21111001nssnjYsYXsXtsVDnjnjjjjnjjjjD扩展DEA对偶规划D个变量为及1),,,(0,0,,,2,1,0..min)(2111100001nssnjYsYXsXtsVDnjnjjjjjjnjjjjjjD三、扩展DEA模型的直观说明可以通过图1来理解这个模型。在图1中有5个决策单元A-E，它们是双投入单产出，为了方便起见，我们让其产出相同（如果产出不同可以使某一单元的投入和产出同时扩大或缩小相同比例）。其数据如下表，等产量曲线如图1。ABCDE投入12.02.05.010.010.0投入212.08.05.04.06.0产出11.01.01.01.01.0ACEC'DB投入1投入20图1图1中有效生产前沿面由BC线段和CD线段组成。因此，采用DEA模型求解时，点A、B、C和D都是DEA有效的点，其评价值都为1，而只有E点是DEA无效点。采用超效率评价模型进行评价时，DEA有效的点超效率评价值相应的发生了变化，可以将决策单元的点分为三类用超效率评价模型加以解释：1、DEA无效的点图1中如点E。由于点E不在生产前沿面上，去掉点E生产前沿面不发生改变，因此其超效率评价值就是DEA评价模型的效率值。2、弱DEA有效点图1中如点A。点A是一个弱DEA有效点，同点B相比，在投入2上有一个松弛变量（等于4），但投入1上同点B相同，因此同点B相比其两个投入不能按照相同比例压缩，因此其DEA评价值为1。在采用超效率模型评价时，去掉点A不影响生产前沿面形状，因此其超效率评价值不发生改变，仍然为1。3、DEA有效点图1中如B、C和D。考虑下一个观察点C，C点是DEA有效的点。在参考点集中去掉C，则BD线段中的点变成了有效生产前沿面。C点与有效生产前沿面的距离CC’则是C点可扩张的大小，C’=（6，6）从而可算出扩张比例。C点在扩张到C’过程中始终是有效的。经计算，C点的投入在保证有效的前提下可扩张1.20倍。因此，点C的超效率评价值为1.20，而其DEA评价值为1。点B的解释和点C类似，其超效率评价值为1.316。点D的变化稍微复杂一点，当在参考集中去掉D，生产前沿面变成如图2中的ABCF：各点的超效率评价值为：（A，B，C，D，E）=（1.00,1.32,1.2,1.25,0.75），单元A-E的效率排序为BDCAE。ACED投入1投入20FD’B传统DEA评价值超效率评价值DMUK无效DMUK弱有效DMUK有效DMUK无效DMUK弱有效DMUK（可区分有效程度）1k1kk1k1k1kk1kkk样本生产性投资（万元）生产费用（万元）职工人数（人）发电量（亿KWH)总产值（万元）天津电力28065216470020236146.04204377吉林电力16815436450054092293.98474127江西电力16469620700043426183.29298723山东电力67238093667584418793.031651190湖北电力40799627112565221467.24329750广东电力59739756139058051908.66631722宁夏电力10975112512717335111.54177864贵州电力14198018481231076214.05297785四、算例公司名称天津电力吉林电力江西电力山东电力湖北电力广东电力宁夏电力贵州电力CCR模型效率测度0.7910.861110.851超效率测度0.791.260.861.861.071.750.851.09CCR模型效率测度、超效率测度2019/10/2916DEA交叉效率模型——他评价VS自评价假设条件每个DMU选择自己的权向量Ikx为第k个决策单元对第x种类型输入的投入量，Oky为第k个决策单元对第y种类型输出的产出量vkx为第k个决策单元对第x种类型输入的权系数，uky为第k个决策单元对第y种类型输出的权系数2019/10/29172019/10/2918利用DMUk的权向量评价第s个DMU，所得的交叉效率为sykyykssxkxxOuEIvDEA基本模型的目标函数可写为kykyykkkxkxxOuEIv他评价自评价DEA交叉效率矩阵1234561E11E12E13E14E15E16A12E21E22E23E24E25E26A23E31E32E33E34E35E36A34E41E42E43E44E45E46A45E51E52E53E54E55E56A56E61E62E63E64E65E66A6e1e2e3e4e5e62019/10/2919评价DMU被评价DMU被他人评价的平均效率评价他人的平均效率主对角线的数值为各个DMU的自评价效率在评价过程中，通常会出现的情况：最小化对他人的评价，最大化对自己的评价为了得到更加客观公平的评价结果，他评价的平均效率将不包括自评价的结果，也就是：11kskskeEn2019/10/29202019/10/2921——交叉效率的激进式和仁慈式DEA交叉效率模型DEA模型的结果不唯一使用不同的权向量去评价其他DMU会得到不同的结果目标1：自身的效率最大化；目标2：其他DMU的交叉效率最小化激进式公式目标1：自身的效率最大化；目标2：其他DMU的交叉效率最大化仁慈式公式2019/10/2922目标2的公式确定11min11sykyykkssksksxkxxOuAEnnIv2019/10/2923在交叉效率矩阵中，使交叉效率的平均值最小。——激进式公式非线性分式规划替代公式minkysyyskkkxsxxskuOCvIminksykysxkxskyxkysykxsxyskxskBOuIvuOvI2019/10/2924PS：仁慈式公式将min改为maxDEA交叉效率激进式公式1min..0,011,2,,;10kkysykxsxyskxskkykxkskxkxxkykykkkxkxyxBuOvIstuvEsnskIvOuEIv2019/10/2925DEA交叉效率激进式公式2min..10,011,2,,;0kysyyskkxsxxskkykxkskykykkkxkxyxuOstvIuvEsnskOuEIv2019/10/2926奇异指数kkkkkEeMe2019/10/2927表示的是决策单元从他评价转向自评价过程中效率值的变化情况Ekk越大，ek越小，Mk越大，则决策单元k越容易被视为奇异者，即决策单元k是伪有效的Mk越小，表示自评价值与他评价值越接近，则决策单元k的最终评价值越容易被接受2019/10/2928基于交叉效率评价，决策单元k的最终评价值表示为11nksksEn根据θk的大小可以对所有的决策单元进行排序2019/10/2929——现实意义DEA交叉效率模型DEA中用来评价和排序的一种有效的方法最终评价值完全由其自评价值决定，则太突出自我，容易出现伪有效问题最终评价值完全由他评价值决定，虽然充分体现了民主性，但没有融入自我意见，使决策单元完全处于被动地位，没有机会展现自我价值交叉效率评价模型将自评价与他评价有效地融合在一起，在社会评价活动中有重要的现实意义2019/10/2930Malmquist指数2019/10/2931一、面板数据（Paneldata）效率测算问题y11y12……y1ny21y22……y2n……………ys1ys2……ysnx11x12……x1nx21x22……x2n……………xm1xm2……xmnDMU1DMU2……DMUnv11v22……vmm1u12u2……susT0y11y12……y1ny21y22……y2n……………ys1ys2……ysnx11x12……x1nx21x22……x2n……………xm1xm2……xmnDMU1DMU2……DMUnv11v22……vmm1u12u2……susT1二、Malmquist中用到效率定义Malmquist指数用于研究不同时期决策单元的效率演化，它和法雷尔(Farrell,1957)效率理论有着密切的联系，下面简单介绍一下Malmquist指数的理论方法。符号说明:t时期的生产活动t时期的生产可能集t时期的经验生产活动,DMUj投入产出值t时期参考集t时期的经验生产可能集),(ttYXT),(ttYXnjYXtjtj,...,2,1),,(),(),...,,(,),(ˆ2211tntnttttYXYXYXTnjYYXXYXTjtnijjtnijjtttCCR,...,1,0,,),(11表示用t期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t期的投入产出配置的技术效率1、t期综合效率函数),(000tjtjtjYXF),(00tjtjYXnjYYXXtsYXFjtjnjtjjtjnjtjjtjtjtj,,1,0..min),(0101000表示用t+1期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t+1期的投入产出配置的技术效率2、t+1期综合效率函数),(101010tjtjtjYXF),(1010tjtjYXnjYYXXtsYXFjtjnjtjjtjnjtjjtjtjtj,,1,0..min),(10111011101010表示用t期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t+1期的投入产出配置的技术效率),(10100tjtjtjYXF),(1010tjtjYXnjYYXXtsYXFjtjnjtjjtjnjtjjtjtjtj,,1,0..min),(101101101003、t期数据度量t+1期综合效率函数表示用t+1期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t期的投入产出配置的技术效率),(0010tjtjtjYXF),(00tjtjYXnjYYXXtsY