方差分析教学课件

西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作15.1方差分析的基本原理5.1.1自由度和平方和的分解5.1.2F分布与F测验西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作2上章介绍了一个或两个样本平均数的假设测验方法。本章将介绍k(k≥3)个样本平均数的假设测验方法，即方差分析(analysisofvariance)。这种方法的基本特点是：将所有k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方和，进而获得不同变异来源的总体方差估计值。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作3其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作45.1.1自由度和平方和的分解方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。下面我们首先用一个例子来说明这一问题。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作5[例5.1]以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，试分解其自由度和平方和。药剂苗高观察值总和Ti平均数A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T=336=21iyy西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作61、总变异把表中的全部观察值作为一个组看待[即把4个处理(4组、每组有4个观察值)合并成一组，共有24个观察值]，根据前面讲过的计算平方和的公式，可以计算出总变异的平方和和自由度60244336322118)()(2222222nkyyyySSiT西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作7自由度DFT=nk-1=4×4-1=15。表中的每一个观察值，即包括有处理的效应(不同药剂对苗高的影响)又受到误差的影响。其中：nkTnky22)(称为矫正数，用C表示。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作82、误差效应表中处理内(组内)各观察值之间，若不存在误差，则各观察值应该相等，由于误差是客观存在的，因而处理内(组内)各观察值之间必然是有差异的，因此，可以用组内(处理内)的差异度量误差效应：西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作93847213202118)(2222221212111nTyyySSjje药剂A内：药剂B内：2049222262420)(2222222222222nTyyySSjje药剂C内：2645614171510)(2222223232333nTyyySSjje药剂D内：14411632292728)(2222224242444nTyyySSjje西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作10从理论上讲，这4个误差平方和除以相应的自由度得的误差均方都可以作为总体误差方差的无偏估计值。但是，用它们的加权平均值来估计总体误差方差，则效果更佳。所以：9814262038)(211kniijeyySS每个组内(处理内)的自由度为：n-1=4-1=3,西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作11)1(,)(12kDFyySStkit所以误差的自由度为：DFe=k(n-1)=4(4-1)=123、处理效应如果没有处理效应，表中各个处理(组)平均数来度量处理效应。iy从理论上讲均应该相等，因此可以用iy西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作12CnTyynnSSSSikitt221)(ttdfSS/需要注意的是，系样本平均数的方差，为了进行正确的F测验，必须使它们都是估2eedfSS/的估值，而则是n/2是的估值。。因而，处理(组间)平方和2计同一参数应为：西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作13504])2129()2114()2123()2118[(4)(222221yynSSkit5047056411656927222222CnTSSitetTetTDFDFDFSSSSSS,西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作14本例中平方和：602=504+98自由度：15=3+12因此误差平方和可以采用简单的办法计算SSe=SST-SSt=602-504=98。进而可得均方：17.8129800.168350422eeeettttdfSSsMSdfSSsMS西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作15平方和与自由度的分解归纳为下表变异来源DFSSMS处理间(组间)k-1MSt误差(组内)k(n-1)MSe总变异kn-1nkTnkyCCyyyi2222)()(CnTyyniki221)(tTkniijSSSSyy211)(将上述例子推广到一般，设有k组数据，每组皆具n个观察值，则资料共有nk个观察值，其数据分组如表6.1(P99)。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作165.1.2F分布与F测验一、F分布在一个平均数为μ、方差为σ2的正态总体中随机抽取两个独立样本，分别求得212121),(ssF22s21s22s21s和，将和的比值定义为F：其均方西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作17按上述方法从正态总体中进行一系列抽样，就可得到一系列的F值而作成一个F分布。它是具平均数μF=1和取值区间为[0,∞]的一组曲线；而某一特定曲线的形状仅决定于参数ν1和ν2。F分布下一定区间的概率可从已制成的统计表中查出。附表5给出了各种ν1和ν2下右尾概率α=0.05和α=0.01西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作18二、F测验在方差分析的体系中，F测验可用于检测某项变异因素的效应或方差是否存在。所以在计算F值时，总是将要测验的那一项变异因素的均方作分子，而以另一项变异(如误差项)作分母。21s时的临界F值。其值是专供测验的总体方21是否显著大于2222s的总体方差差而设计的(H0：对HA：2221＞)。2122≤西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作19F测验需具备的条件：(1)变数y遵循N(μ，σ2)；2ts[例6.3]在例6.1中算得药剂间均方=168.00，药剂内均方2es=8.17，具有自由度ν1=3，ν2=12。试测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？22et假设H0：22et对HA：α=0.0522s21s和彼此独立。(2)西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作2056.2017.800.16822etssF查附表5在ν1=3，ν2=12时F0.05=3.49，F0.01=5.95实得F＞F0.01P＜0.01测验计算：西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作21将例6.1和例6.3的分析结果归纳在一起，列出方差分析表如下：变异来源DFSSMSF显著F值药剂处理间3504168.0020.56F0.05=3.49药剂处理内(误差)12988.17F0.01=5.95总变异15602水稻药剂处理苗高方差分析表22et推断：否定H0：22et，接受HA：西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作225.2多重比较5.2.1最小显著差数法5.2.2q法5.2.3新复极差法5.2.4多重比较方法的选择西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作235.2.1最小显著差数法最小显著差数法(leastsignificantdifferrence，简称LSD法)nMSsstLSDeyyyyjiji2西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作24[例6.4]试以LSD法测验各种药剂处理的苗高平均数之间的差异显著性。)(02.2417.82cmsjiyy由附表4，ν=12时，t0.05=2.179,t0.01=3.055故LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作25处理苗高平均数差异显著性0.050.01D29B23A18C14不同药剂处理水稻苗高平均数比较(LSD法)abccAABBCC西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作265.2.2q法q测验方法是将k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差LSRα值的。nMSSESEqLSRepdf/,;西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作27[例6.5]试以q法测验各种药剂处理的苗高平均数之间的差异显著性。43.14/17.8SE查附表7，得到当DF=12时，p=2,3,4的qα值西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作28LSRα值Pq0.05q0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.406.1833.775.045.397.2144.205.506.017.87处理苗高平均数差异显著性0.050.01D29aAB23bABA18cBCC14cC不同药剂处理水稻苗高平均数比较(q法)西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作295.2.3新复极差法新复极差法，又称最短显著极差法(shortestsignificantrange)，与q法相似。计算LSRα值查的是SSRα值(附表8)而不是q表。pSSRSELSR,LSRα值PSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.406.1833.234.554.626.5143.334.684.766.69西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作305.2.4多重比较方法的选择1、试验事先确定比较的标准，凡是与对照相比较，或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著差数法；2、根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的H0的相对重要性来决定。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作31方差分析的基本步骤：（1）分解平方和与自由度；（2）F测验；（3）平均数的多重比较。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作325.3方差分析的线性模型与期望均方5.3.1方差分析的线性数学模型5.3.2期望均方西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作335.3.1方差分析的线性数学模型方差分析是建立在一定的线性可加模型的基础上的。所谓线性可加模型是指总体每一个变量可按其变异的原因分解成若干个线性组成部分，它是方差分析的基础。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作34表6.1数据的线性模型可表示为：ijiijy式中，μ为总体平均数，τi为试验处理效应，εij为随机误差具有N(0，σ2)。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作35在以样本符号表示时，样本的线性组成为：ijiijetyyy是μ的无偏估计值，iiiieyyt)(ijiijijyye)(西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作362112)1()(ekniijenkyyMS222212)(1)(eekitnnnkyynMS西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作375.3.2期望均方在线性可加模型中，由于对τi有不同解释产生了固定模型(I)和随机模型(II)。一、固定模型(fixedmodel)指试验的各处理都抽自特定的处理总体，其处理效应τi=(μi-μ)是一个固定的常量，我们的目的就在于研究τi，所测验的假设是H0：τi=0或H0：μi=μ。西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作38一般的栽培和饲养试验，如肥料试验、药效试验、密度试验、饲料试验、品种试验等均属于固定模型。［例6.8］以5个水稻品种作大区比较试验，每品种作3次取样，测定其产量，所得数据为单向分组资料。本