初三数学-有圆的经典例题

1有关圆的经典例题1.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132OABACBAC2.如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，如果点既是的中点，又是边的中点，DABAC（1）求证：△ABC是直角三角形；()22求的值ADBC3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）AABCDBABCD..22CABCDDABCD..22与的大小关系不确定4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD2OABBCAD141求CD的长。5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥ABACODACDEAB于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。2（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？DACADDEDF6.如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD()ABBCBCO12D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于点B和点C，∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，∴ADx23则∠tanADEAEADxx22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例7.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；3（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°∴∠D+∠BAD=90°又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD（2）CO2所在直线与AD垂直，证明：连结O2A、O2B、O2D、AC在△AO2C与△DO2C中∵，∴，∴∠∠OAOBAOBO222212∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，∴△CAD为等腰三角形，∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面aOOOOOOOOO2123122331积S。（图中阴影部分）4分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。解：SaSaaABC△扇，×·3433628222()∴阴Saaa348238222此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都ABC为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a2()分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为，82a原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。解题思路同上。解：()n22一、填空题（10×4=40分）1.已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。2.圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。3.若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。4.如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，ACBC等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。55.⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是___________。6.圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。7.已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。8.若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=103，则PC的长为___________。9．如图5，△ABC内接于⊙O，点P是CA上任意一点（不与CA、重合），POCABC则,55的取值范围是．10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为.11．已知O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与O的位置关系是．12．如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，46BOC，则AED的度数为．（第9题图）°°O613．如图，RtABC△中90ACB，4AC，3BC．将ABC△绕AC所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积．（取3.14，结果保留两个有效数字）14．如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，oAOB120，则阴影部分的面积为15．如图，AB是O的直径，AM为弦，30MAB，过M点的O的切线交AB延长线于点N．若12cmON，则O的半径为cm．16．如图，RtABC△是由RtABC△绕B点顺时针旋转而得，且点ABC，，在同一条直线上，在RtABC△中，若90C∠，2BC，4AB，则斜边AB旋转到AB所扫过的扇形面积为．17．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PAPB，，切点分别是AB，，若8cmPA，C是AB上的一个动点（点C与AB，两点不重合），过点C作圆O的切线，分别交PAPB，于点DE，，则PED△的周长是．18、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是.19．如图8，在RtABC△中，903CAC，．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BABC，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为．20．如图9，点AB，是O上两点，10AB，点P是O上的动点（P与AB，不重合）连结APPB，，过点O分别作OEAP于点E，OFPB于点F，则EF．三、解答题：第14题图fABC图8AOB120oAOBNMCBACA（15题图）OADPEBC（第17题图）ACB图8AEOFBP图971.已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。（1）求证：EF·BC=DE·AC；（2）若AD=3，AC=1，AF3，求EF的长。2.某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。3.已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。（1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF；（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）若AB4213，∠cosEBA，求⊙O的半径。4．如图，ABC△是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与AB，重合），设OAB，C．（1）当35时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明．5、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）CEAE31．ADBOCE8CABEFMN图①CABEFMN图②6、已知：如图，在RtABC△中，90C，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与ACAB，分别交于点DE，，且CBDA．（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5ADAO，2BC，求BD的长．7、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，（Ⅰ）求AOD的度数；（Ⅱ）若8AOcm，6DOcm，求OE的长．8、已知Rt△ABC中，90ACB，CBCA，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：222BNAMMN；（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式222BNAMMN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．9．如图，ABC△内接于O，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D，2ABAPAD．（1）求证：ABAC；（2）如果60ABC，O的半径为1，且P为AC的中点，求AD的长．10．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=15.(1)求证：AMMBEMMC；(2)求EM的长；（3）求sin∠EOB的值.11．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）DCOABE9“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i是坡面CE的坡度），求r的值．12．已知，如图，直线MN交O于AB，两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若6DEcm，3AEcm，求O的半径．图7OCADEH图8第12题图COBADMEN