初中数学-圆知识点归纳

《圆》整章知识点复习-1-《圆》章节知识点复习名词解释：1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都《圆》整章知识点复习-2-rddCBAOOEDCBAdrd=rrd图2rRd图1rRd相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD图4rRd图5rRd图3rRd《圆》整章知识点复习-3-CBAODCBAO中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C∴90C∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。OCDABFEDCBAOCBAOCBAO《圆》整章知识点复习-4-EDCBAPBAOPODCBA八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA推论1：圆的外切四边形的两组对边的和相等十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。NMAOOEDCBA《圆》整章知识点复习-5-DECBPAO即：在⊙O中，∵直径ABCD，∴2CEAEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴2PAPCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE（5）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论1：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。即：∵⊙1O、⊙2O相交于A、B两点∴12OO垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）外公切线长：CD2=L2+(R-r)2（2）内公切线长：AB2=L2+(R+r)2十四、圆内正多边形的计算定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正nBAO1O2《圆》整章知识点复习-6-BAOSlBAOBAOBAO边形推论1：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆推论2：正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n推论3：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形推论4：正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长推论5：如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4特例：（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；正三角形面积√3a2／4，a表示边长（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；（2）扇形面积公式：213602nRSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积DCBAOECBADO《圆》整章知识点复习-7-2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vrh3、圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vrh母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO