关于含参数(单参)的一元二次不等式的解法探究

1关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法探究含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论，笔者认为这层“纸”捅破了，问题自然得到了很好的解决，在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类有一个非常好的方法，下面我们通过三个例子找出其中的奥妙！一．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0）例1、解关于x的不等式0)1(2axax。解：0)1)((2xax1,0)1)((xaxxax令为方程的两个根（因为a与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当1a时，不等式的解集为}1|{axxx或（2）当1a时，不等式的解集为}1|{xaxx或（3）当1a时，不等式的解集为}1|{xx综上所述：（1）当1a时，不等式的解集为}1|{axxx或（2）当1a时，不等式的解集为}1|{xaxx或（3）当1a时，不等式的解集为}1|{xx变题1、解不等式0)1(2axax；2、解不等式0)(322axaax。小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。例2、解关于x的不等式022kkxx分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解)8(82kkkk(1)当02,08,02kkxxkk方程时或既有两个不相等的实根。所以不等式的解集是022kkxx：4)8(4)8(kkkxkkkx(2)当02,0802kkxxkk方程时或即有两个相等的实根，所以不等式4022kkkxx的解集是，即}0{2，；(3)当02,08,02kkxxk方程时即无实根所以不等式的022kkxx解集为。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。小结：讨论，即讨论方程根的情况。2二．二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0）例3、解关于x的不等式：.01)1(2xaax解：若0a，原不等式.101xx若0a，原不等式axxax10)1)(1(或.1x若0a，原不等式.0)1)(1(xax)(其解的情况应由a1与1的大小关系决定，故（1）当1a时，式)(的解集为；（2）当1a时，式)(11xa；（3）当10a时，式)(ax11.综上所述，当0a时，解集为{11xaxx或}；当0a时，解集为{1xx}；当10a时，解集为{axx11}；当1a时，解集为；当1a时，解集为{11xax}.例4、解关于x的不等式：.012axax解：.012axax)(（1）0a时，.01)(Rx（2）0a时，则0042aaa或4a，此时两根为aaaax2421，aaaax2422.①当0a时，0，)(xaaaa242aaaa242；②当04a时，0，Rx)(；③当4a时，0，21)(xRx且；④当4a时，0，)(或aaaax242aaaax242.综上，可知当0a时，解集为(aaaa242,aaaa242)；当04a时，解集为R；当4a时，解集为(21,)(,21);当4a时，解集为(aaaa24,2)(,242aaaa).上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论.解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下三种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）根的大小。练习：1.解关于x的不等式0)2)(2(axx2.解关于x的不等式：.0)2(2axax