斐波那契数列算法分析

精心整理页脚内容斐波那契数列算法分析背景：假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。这就是着名的斐波那契（Fibonacci）数列。?有趣问题：1，有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?答：这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种方法……所以，1，2，3，5，8，13……登上十级，有89种。2，数列中相邻两项的前项比后项的极限是多少，就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？答：这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。?数学表示：Fibonacci数列的数学表达式就是：F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(1)=1F(2)=1?递归程序1：Fibonacci数列可以用很直观的二叉递归程序来写，用C++语言的描述如下：精心整理页脚内容longfib1(intn){if(n=2){return1;}else{returnfib1(n-1)+fib1(n-2);}}看上去程序的递归使用很恰当，可是在用VC2005的环境下测试n=37的时候用了大约3s，而n=45的时候基本下楼打完饭也看不到结果……显然这种递归的效率太低了！！递归效率分析：例如，用下面一个测试函数：longfib1(intn,int*arr){arr[n]++;if(n=2){return1;}else{returnfib1(n-1,arr)+fib1(n-2,arr);}}这时，可以得到每个fib(i)被计算的次数：fib(10)=1fib(9)=1fib(8)=2fib(7)=3fib(6)=5fib(5)=8fib(4)=13fib(3)=21fib(2)=34fib(1)=55fib(0)=34可见，计算次数呈反向的Fibonacci数列，这显然造成了大量重复计算。我们令T(N)为函数fib(n)的运行时间，当N=2的时候我们分析可知：T(N)=T(N-1)+T(N-2)+2而fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)，所以有T(N)=fib(n)，归纳法证明可得：精心整理页脚内容fib(N)(5/3)^N当N4时，fib（N）=(3/2)^N标准写法：显然这个O（(3/2)^N）是以指数增长的算法，基本上是最坏的情况。其实，这违反了递归的一个规则：合成效益法则。合成效益法则（Compoundinterestrule）：在求解一个问题的同一实例的时候，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。所以在上面的代码中调用fib(N-1)的时候实际上同时计算了fib(N-2)。这种小的重复计算在递归过程中就会产生巨大的运行时间。?递归程序2：用一叉递归程序就可以得到近似线性的效率，用C++语言的描述如下：longfib(intn,longa,longb,intcount){if(count==n)returnb;returnfib(n,b,a+b,++count);}longfib2(intn){returnfib(n,0,1,1);}这种方法虽然是递归了，但是并不直观，而且效率上相比下面的迭代循环并没有优势。迭代解法：Fibonacci数列用迭代程序来写也很容易，用C++语言的描述如下：//也可以用数组将每次计算的f(n)存储下来，用来下次计算用（空间换时间）longfib3(intn){longx=0,y=1;精心整理页脚内容for(intj=1;jn;j++){y=x+y;x=y-x;}returny;}这时程序的效率显然为O（N），N=45的时候1s就能得到结果。矩阵乘法：我们将数列写成：Fibonacci[0]=0，Fibonacci[1]=1Fibonacci[n]=Fibonacci[n-1]+Fibonacci[n-2](n=2)可以将它写成矩阵乘法形式：将右边连续的展开就得到：下面就是要用O(log(n))的算法计算：显然用二分法来求，结合一些面向对象的概念，C++代码如下：classMatrix{public:longmatr[2][2];Matrix(constMatrix&rhs);Matrix(longa,longb,longc,longd);Matrix&operator=(constMatrix&);friendMatrixoperator*(constMatrix&lhs,constMatrix&rhs){Matrixret(0,0,0,0);ret.matr[0][0]=lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][0]+lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][0];ret.matr[0][1]=lhs.matr[0][0]*rhs.matr[0][1]+lhs.matr[0][1]*rhs.matr[1][1];ret.matr[1][0]=lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][0]+lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][0];ret.matr[1][1]=lhs.matr[1][0]*rhs.matr[0][1]+lhs.matr[1][1]*rhs.matr[1][1];returnret;}};精心整理页脚内容Matrix::Matrix(longa,longb,longc,longd){this-matr[0][0]=a;this-matr[0][1]=b;this-matr[1][0]=c;this-matr[1][1]=d;}Matrix::Matrix(constMatrix&rhs){this-matr[0][0]=rhs.matr[0][0];this-matr[0][1]=rhs.matr[0][1];this-matr[1][0]=rhs.matr[1][0];this-matr[1][1]=rhs.matr[1][1];}Matrix&Matrix::operator=(constMatrix&rhs){this-matr[0][0]=rhs.matr[0][0];this-matr[0][1]=rhs.matr[0][1];this-matr[1][0]=rhs.matr[1][0];this-matr[1][1]=rhs.matr[1][1];return*this;}Matrixpower(constMatrix&m,intn){if(n==1)returnm;if(n%2==0)returnpower(m*m,n/2);elsereturnpower(m*m,n/2)*m;}longfib4(intn){Matrixmatrix0(1,1,1,0);matrix0=power(matrix0,n-1);returnmatrix0.matr[0][0];}这时程序的效率为O（log(N)）。精心整理页脚内容公式解法：在O（1）的时间就能求得到F(n)了：注意：其中[x]表示取距离x最近的整数。用C++写的代码如下：longfib5(intn){doublez=sqrt(5.0);doublex=(1+z)/2;doubley=(1-z)/2;return(pow(x,n)-pow(y,n))/z+0.5;}这个与数学库实现开方和乘方本身效率有关的，我想应该还是在O(log(n))的效率。总结：上面给出了5中求解斐波那契数列的方法，用测试程序主函数如下：intmain(){coutfib1(45)endl;coutfib2(45)endl;coutfib3(45)endl;coutfib4(45)endl;coutfib5(45)endl;return0;}函数fib1会等待好久，其它的都能很快得出结果，并且相同为：。而后面两种只有在的时候会显示出优势。由于我的程序都没有涉及到高精度，所以要是求大数据的话，可以通过取模来获得结果的后4位来测试效率与正确性。另外斐波那契数列在实际工作中应该用的很少，尤其是当数据n很大的时候（例如：），所以综合考虑基本普通的非递归O(n)方法就很好了，没有必要用矩阵乘法。1、N皇后问题算法设计精心整理页脚内容ALGORITHMprocedurePLACE(k)//如果一个皇后能放在第k行的X(k)列，则返回true；否则返回false。X是一个全程数组，进入此过程时已置了k个值。//globalX(1：k)；integeri，ki←1whileikdoifX(i)＝X(k)//在同一列有两个皇后//orABS(X(i)－X(k))＝ABS(i－k)//在同——条斜角线上//thenreturn(false)endifi←i+1repeatreturn(true)//满足约束//endPLACEprocedureNQUEENS(n)//此过程使用回溯法求出在一个n*n棋盘上放置n个皇后，使其能互相攻击的所有可能位置//X(1)←0；k←1//k是当前行；X(k)是当前列//Whilek0do//对所有的行执行以下语句//{X(k)←X(k)+1//移到下一列//WhileX(k)≤nandnotPLACE(k)do{X(k)←X(k)十l;}//如果第k个皇后的列X(k)不合理，就看下一列//ifX(k)≤n//找到一个位置//thenifk=n//是一个完整的解吗//thenprint(X)//是，打印这个数组//else{k←k+1；X(k)←0；}endif//扩展，搜索下一个皇后//elsek←k－1//回溯//endif}endNQUEENSProgram:#includestdio.h#includemath.hintk=0,a[20],j=1,flag,n,c=0;//k为解的个数,n为皇后的个数,flag标记有没有放置皇后voidlycQueen(){//递归求解函数inti,h;//i为行号,h为列号for(h=1;h=n;h++){a[j]=h;for(i=1;ij;i++){//将第j个皇后的位置依次跟前面j-1个皇后比较if(a[i]==a[j]||abs(a[j]-a[i])==abs(j-i)){flag=0;break;}//两个皇后在同一行或者同一对角线上,冲突精心整理页脚内容elseflag=1;//没冲突,放置一个皇后}//forif(flag==0&&a[j]!=n)continue;//没试探完,继续试探if(flag==1&&j==n){//放置完n个皇后,得到一个解k=k+1;c=1;//解的个数加1for(i=1;i=n;i++)printf(%d,a[i]);//输出第i个皇后放置的行号printf(\n);if(a[j]==n)flag=0;}//ifif(flag==1&&j!=n){j++;lycQueen();}//递归调用if(flag==0&&a[j]==n){j--;}//回溯,退回去重新试探}//for}//lycQueenvoidmain(){inti;printf(请输入皇后的个数:);scanf(%d,&n);//输入皇后的个数nj=1;f